自由落下運動 - 空気抵抗有無の比較2

特殊解(再掲)

前回計算した速度と位置の特殊解(で)を再度書く。

 

ここでは落下物の速度、は位置、は重力加速度、は時間、は空気抵抗係数、は落下物の質量、は任意定数である。いずれも上方向(重力と逆方向)をとしていることに注意。

 

空気抵抗なし

速度

\begin{eqnarray}
v=-gt
\end{eqnarray}

 

位置

\begin{eqnarray}
x=-\frac{1}{2}gt^2
\end{eqnarray}

 

空気抵抗あり

速度

\begin{eqnarray}
v&=&\frac{mg}{k} \left[ \exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)}-1 \right]\\
\end{eqnarray}

 

位置

\begin{eqnarray}
x=-\frac{m^2g}{k^2} \exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)}-\frac{mg}{k}t+\frac{m^2g}{k^2}
\end{eqnarray}

 

定数の代入

以前、スカイダイビングの到達速度を基に、空気抵抗係数の計算を行った。その値をそのまま使用して落下速度と位置をプロットする。すなわち、、とする。

 

空気抵抗なし

速度

\begin{eqnarray}
v=-10t
\end{eqnarray}

 

位置

\begin{eqnarray}
x&=&-\frac{1}{2} \cdot 10t^2\\
&=&\underline{-5t^2}
\end{eqnarray}

 

空気抵抗あり

速度

\begin{eqnarray}
v&=&\frac{mg}{k} \left[ \exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)}-1 \right]\\
&=&\frac{60 \cdot 10}{12} \left[ \exp{\left(-\frac{12t}{60}\right)}-1 \right]\\
&=&\underline{50 \left[ \exp{\left(-0.2t\right)}-1 \right]}
\end{eqnarray}

 

位置

\begin{eqnarray}
x&=&-\frac{m^2g}{k^2} \exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)}-\frac{mg}{k}t+\frac{m^2g}{k^2}\\
&=&-\frac{60^2 \cdot 10}{12^2} \exp{\left(-\frac{12t}{60}\right)}-\frac{60 \cdot 10}{12}t+\frac{60^2 \cdot 10}{12^2}\\
&=&-250 \exp{(-0.2t)}-50t+250
\end{eqnarray}

 

プロット

これで準備が整い、とをの関数としてプロットすることができる。

 

落下速度のグラフ

 

落下位置のグラフ

導かれた式の形は全く違うが、確かにオレンジのグラフは空気抵抗のある落下運動になっていることが分かる。速度は、青のグラフで表した空気抵抗なしから徐々に遅れ始め、最終的には一定速度で安定する。

 

落下位置も最初は空気抵抗なしとほぼ同じであるが、だんだん空気抵抗の効きが大きくなり、最終的には等速運動になっていることが分かる。

 

このように、物体にかかる力だけから出発して、速度や位置などの情報を正確に導けることが微分方程式の面白さである。