因数分解のやり方についてですが、整数問題…因数分解をする解法で練習だした練習問題が、どうも解答が気になるらしいので解説を書きます。
まあまあ数学の勉強法から言うと、余り悩む前に解答を見てしまって覚えたってください。
[練習問題]
m,nを整数として
m^2+mn=3m+4n+9
が成り立つ時、mとnの値を求めよ。
(m^2はmの2乗と言う意味です)
[解答と解説]
(因数分解された文字式)=(整数)と言う形にして解いてみてくれって書いたわけど、因数分解する時は結構うへ～ってわけわからんことなるやん。
まあ一回落ち着けって話や。
それでやっと出来た！ってどうやったらこんな方法思いつくねんって言う、ある意味天才的な因数分解をして血吐いて死ぬ人がよくいます。
そこで中学生にも言えることですが、因数分解の基本は
「次数の低い文字で整理する」
です。
そしたら、簡単に因数分解出来ることが多いです。
と言うよりも、だいたい機械的に因数分解出来ます。
例えば
(b-c)a^3+(c-a)b^3+(a-b)c^3
と言う式を因数分解しろって言われたら、まあまずはa,b,cどれでもいいですがaについて整理するのがお決まりでした。
(b-c)a^3+(c^3-b^3)a+cb^3-bc^3
=(b-c)a^3-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+bc(b-c)(b+c)
=(b-c)(a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c))
ここまではオッケーですが、a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)のaの三次式を因数分解するのは中々難しいです。
3次式の因数分解の仕方
x^3-(b^2+bc+c^2)x+bc(b+c)
でx=bとおいたら
b^3-b^3-b^2c-bc^2+b^2c+bc^2=0
より
(x-b)(x^2+bx-c(b+c))
と因数分解できるから
(a-b)(a^2+ba-c(b+c))=(a-b)(a-c)(a+b+c)
と出来ると考えても、もちろんオッケーです。
しかし、
「因数分解は次数の低い文字について整理する！」
って定石にしたがってやみると、a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)はaについては3次式でもbについては2次式だから
a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)
=(c-a)b^2+c(c-a)b-a(c-a)(c+a)
=(c-a)(b^2+cb-a(c+a))
=(c-a)(b-a)(b+c+a)
だから
(b-c)a^3+(c^3-b^3)a+cb^3-bc^3
=(b-c)(a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c))
=(b-c)(c-a)(b-a)(b+c+a)
と機械的にタスキ掛けだけで因数分解できます。
まあ対称性を考えると、普通は
-(a-b)(b-c)(c-a)(b+c+a)
と言う形にかきますが、なぜこんな変形をするのか永遠と悩む人がたまにいますが、これは単にこの形にするとa,b,cの対称性が見えてきて式が「綺麗」だからなだけです。
数学は悩んだら負けやからな。
まあこんなもんやって悩まずにとりあえずは覚えていって、後からだんだんと覚えたものの関連性とかが見えてきて本質とかわかってくるわけや。
まあそういうわけで、因数分解は
「次数の低い文字で整理する」
ってことを今日は身につけていってくれ。
ちなみにさっきの問題についてはaについて整理したら
(b-c)(a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c))
対称性からbについて整理したら
(c-a)(b^3-(c^2+ca+a^2)b+ca(c+a))
cについて整理したら
(a-b)(c^3-(a^2+ab+b^2)c+ab(a+b))
だから(a-b)(b-c)(c-a)で割り切れるであろうと言うことがわかるから
(b-c)(a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c))からa^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)は(a-b)(c-a)で割り切れるとか考えてもオッケーです。
話は戻って、
m^2+mn=3m+4n+9
を
(因数分解された文字式)=(整数)
の形にしたいわけですが、この式はmについては2次、nについては1次だからnについて整理してみます。
m^2+mn=3m+4n+9
⇔
(m-4)n+m^2-3m-9=0
nの係数がm-4だからm-4って形をつくり出したらオッケーなわけです。
m^2-3m-9はm-4の式で表せるはずです。
なぜなら、m-4=tとでも置けばm=t+4で
m^2-3m-9=(t+4)^2-3(t+4)-9
=t^2+5t-5
=(m-4)^2+5(m-4)-5
と言うように、ちゃんと(m-4)の式であらわせます。
だから
(m-4)n+m^2-3m-9=0
⇔
(m-4)n+(m-4)^2+5(m-4)-5=0
⇔
(m-4)n+(m-4)^2+5(m-4)=5
⇔
(m-4)(n+(m-4)+5)=5
⇔
(m-4)(n+m+1)=5
m-4とn+m+1は整数で5は素数より
(m-4,n+m+1)=(1,5),(5,1),(-1,-5),(-5,-1)
の組み合わせしなくて
(m,n)=(5,-1),(9,-9),(3,-9),(-1,-1)
って求まりました。
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