神戸大学2008年度の理系第三問の整数問題の解説を今からします。
これは(1)と(2)は文系と共通です。
[問題]
1からnまでの自然数1,2,3,…,nの和をSとするとき、次の問に答えよ。
(1)nを4で割った余りが0または3ならば、Sが偶数であることを示せ。
(2)Sが偶数ならば、nを4で割った余りが0または3であることを示せ。
(3)Sが4の倍数ならば、nを8で割った余りが0または7であることを示せ。
[解答]
(1)
(2)
(1)と(2)の解説は神戸大学2008年度文系第2問の解説を見てください。
(3)
これは(2)のように対偶をとると、反対に大変になります。
「Sが4の倍数⇒n=8k,n=8k-1」
⇔
「n=8k-2,8k-3,8k-4,8k-5,8k-6⇒Sは4の倍数でない」
を証明しなければならなくなります。
しかし(2)の結果の対偶を使えばnを4で割った余りが1と2はSが偶数にならないから
n=8k-4,8k-5
の2つだけ調べればオッケーになります。
と言うことで、この話の流れに反して直接示すことにします。
k,mを自然として
S=4m
とおけて
n(n+1)/2=4m
⇔
n(n+1)=8m
nとn+1は連続2整数なので、
nが偶数でn+1が奇数
または
nが奇数でn+1が偶数
です。
8mの8はもちろん偶数の方に入るから
n=8kまたはn=8k-1(=8(k-1)+7)
と置けることになります。
よって題意は成立しました。
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