あかん、背中がかゆい。
センター試験2009年度数学1A第2問、二次関数の最大値、最小値の問題をいっときます。
[問題]
第2問
aを定数とし、xの2次関数
y=2x^2-4(a+1)x+10a+1…[1]
のグラフをGとする。
グラフGの頂点の座標をaを用いて表すと
(a+(ア),(イウ)a^2+(エ)a-(オ))
である。
(1)グラフGがx軸と接するのは
a=((カ)±√(キ))/(ク)
のときである。
(2)関数[1]の-1≦x≦3における最小値をmとする。
m=(イウ)a^2+(エ)a-(オ)
となるのは
(ケコ)≦a≦(サ)
のときである。また
a＜(ケコ)のとき m=(シス)a+(セ)
(サ)＜aのとき m=(ソタ)a+(チ)
である。
したがって、m=7/9となるのは
a=(ツ)/(テ),(トナ)/(ニ)
のときである。
[解答と解説]
まずは平方完成してくれと言わんばかりなので
y=2(x-(a+1))^2-2(a+1)^2+10a+1
=2(x-(a+1))^2-2a^2+6a-1
だから頂点は
(a+1,-2a^2+6a-1)
(1)グラフGがx軸に接するのは、判別式が0って言うのが思い浮かびますが、さっき頂点を求めたから頂点のy座標が0になる時がx軸に接します。
-2a^2+6a-1=0
⇔
2a^2-6a+1=0
より
a=(3±√7)/2
そもそも一般的に
y=ax^2+bx+c
=a(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a
頂点の座標は(-/2a,-(b^2-4ac)/4a)だからy座標に判別式b^2-4acが入っています。
(2)
最小値が頂点のy座標-2a^2+6a-1になるのは、区間の中に頂点(a+1,-2a^2+6a-1)が入ってる時です。
だから
-1≦a+1≦3
⇔
-2≦a≦2
のときです。
x^2の係数が正の二次関数の最小値は頂点が範囲に入る時と、右か、左かで場合分けしました。
a＜(ケコ)から
a＜-2つまり、a+1＜-1で頂点が-1≦x≦3より左の時は、一番頂点に近いx=-1で最小値になるから
m=2+4(a+1)+10a+1
=14a+7
2＜aつまり、3＜a+1のときは頂点が-1≦x≦3より右で、一番頂点に近いx=3で最小値になるから
m=18-12(a+1)+10a+1
=-2a+7
したがって、m=7/9となるのは今までの式から
m=14a+7(a＜-2)
-2a^2+6a-1(-2≦a≦2)
-2a+7(2＜a)
だから
14a+7=7/9とするとa=-4/9≧-2より不適。
-2a^2+6a-1=7/9とすると
9a^2-27a+8=0
(3a-8)(3a-1)=0
からa=1/3,8/3ですが-2≦a≦2よりa=1/3だけが適当で
-2a+7=7/9とするとa=28/9でa＞2に適してるからオッケーです。
だから
a=1/3,28/9
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