センター試験が今年もやってきたようですね。
2009年度数学1A第1問の問題の解説です。
[問題]
第1問
[1]整式A=6x^2+5xy+y^2+2x-y-20を因数分解すると
A=((ア)x+y+(イ))((ウ)x+y-(エ))
となる。
x=-1,y=2/(3-√7)のとき、Aの値は(オカキ)である。
[2]実数aに関する条件p,q,rを次のように定める。
p:a^2≧2a+8
q:a≦-2またはa≧4
r:a≧5
(1)次の(ク)に当てはまるものを、下の(0)～(3)のうちから一つ選べ。
qはpであるための(ク)。
(0)必要十分条件である
(1)必要条件であるが、十分条件でない
(2)十分条件であるが、必要条件でない
(3)必要条件でも十分条件でもない
(2)条件qの否定をq~、条件rの否定をr~で表す。
次の(ケ),(コ)に当てはまるものを、下の(0)～(3)のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
命題「pならば(ケ)」は真である。
命題「(コ)ならばp」は真である。
(0)qかつr~
(1)qまたはr~
(2)q~かつr~
(3)q~またはr~
[解答と解説]
[1]
まず一般的なやり方は一つの文字について整理します。
Aがxの二次式だと思て整理すると
A=6x^2+(5y+2)x+y^2-y-20
そして後ろのy^2-y-20は因数分解できるはずで
(A=((ア)x+y+(イ))((ウ)x+y-(エ))ってなるから因数分解できるはず)
y^2-y-20=(y-5)(y+4)
だから
A=6x^2+(5y+2)x+(y-5)(y+4)
6=2×3ですが
2×(y-5)+3×(y+4)=5y+2
だから
A=(2x+(y+4))(3x+(y-5))
=(2x+y+4)(3x+y-5)
になります。
x=-1,y=2/(3-√7)を入れるわけですが、分母を有理化した方が計算しやすくて
y=2(3+√7)/(9-7)=3+√7
で
A=(2x+y+4)(3x+y-5)
=(-2+3+√7+4)(-3+3+√7-5)
=(5+√7)(-5+√7)
=-25+7
=-18
です。
センターなら前問を利用させるはずって意識していれば、見事に簡単に求まるようになっています。
[2]
(1)
まずpを少し整理しておいて
a^2≧2a+8
⇔
(a-4)(a+2)≧0
⇔
a≦-2,4≦a
a≦-2,4≦aって言う書き方は、a≦-2または4≦aって意味です。
そんなんa≦-2かつ4≦aって言うaなんて存在せえへんしな。
だからこれはqと同じだから
q⇔p
で必要十分条件の(0)です。
(2)
センターは前問がヒントや誘導になってることが多いので(1)を利用できないか考えます。
すると
p⇒(ケ)
が真と言うことですが、
p⇔qなので
q⇒(ケ)
と同じことです。
しかしよく選択肢をみるとqまたはr~は、qであればqなのは当たり前です。
よって
p⇒qまたはr~
で(1)です。
(コ)ならばp
ですが、これもp⇔qなので
(コ)ならばq
と同じことです。
しかしよく選択肢をみるとqかつr~であれば、qであるのは当たり前です。
だから
qかつr~⇒q
で(0)です。
そんな考えなくても別にいい問題でした。
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