tsujimotterのノートブック

日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

√pの作り方（ガウス和）

数学 素数 整数論 ガウス和

一昨日にこんなツイートをしてみたら、思った以上に多くの方に面白がってもらえました。せっかくなので、この記事を通して「種明かし（？）」をしたいと思います。


今回は３日連続で投稿する「ガウス和シリーズ」の第１回の記事となっています。よかったら続きもぜひご覧になってください：
tsujimotter.hatenablog.com

平方剰余／平方非剰余

今回の記事全体を通して、 p を奇数の素数とします。

p で割り切れない整数 a に対して、次のような合同式を考えます：

X^2 \equiv a \pmod{p}

解 X が整数の範囲に存在するとき、 a は p の平方剰余といいます。逆に、そうでないとき a は p の平方非剰余といいます。

このことを記号であらわすために、 a は p の平方剰余のとき

\displaystyle \newcommand{\qr}[2]{\left(\frac{#1}{\;#2\;}\right)} \qr{a}{p} = +1

a は p の平方非剰余のとき

\displaystyle \qr{a}{p} = -1

と表すことにします。
（これは平方剰余を表す形式的な記号であって、 \frac{a}{p} に分数としての意味はないことに注意。）


たとえば、 p = 5 のとき

1^2 \equiv 1 \pmod{5}, \;\; 2^2 \equiv 4 \pmod{5}

が成り立つので、 1, 4 は 5 の平方剰余です。逆に

X^2 \equiv 2 \pmod{5}, \;\; Y^2 \equiv 3 \pmod{5}

を満たす整数 X, Y は存在しないため、 2, 3 は 5 の平方非剰余です。

上の記号を使って表すと

\displaystyle \qr{1}{5} = +1, \;\qr{2}{5} = -1, \;\qr{3}{5} = -1, \;\qr{4}{5} = +1

ということになりますね。


整数論においてこの平方剰余はたいへん重要視されていて、とても興味深い性質がたくさん調べられています。

その一つが、今回のネタである 「ガウス和」 という量の持つ次の性質です。

ガウス和とその性質

ガウス和は、平方剰余の記号を用いて、次のように定義されます：

定義（ガウス和）
\displaystyle G_p := \sum_{k=1}^{p-1} \qr{k}{p} \exp\left(\frac{2\pi i}{p}k\right)

たとえば、 p = 5 のときは

\displaystyle \begin{align} G_5 &= \sum_{k=1}^{4} \qr{k}{5} \exp\left(\frac{2\pi i}{5}k\right) \\ &= \qr{1}{5}\exp\left(\frac{2\pi i}{5}\right) + \qr{2}{5}\exp\left(\frac{4\pi i}{5}\right) \\ &\;\;\;\;+ \qr{3}{5}\exp\left(\frac{6\pi i}{5}\right) + \qr{4}{5}\exp\left(\frac{8\pi i}{5}\right) \end{align}

となります。平方剰余の記号を具体的に計算すると

\displaystyle G_5 = \exp\left(\frac{2\pi i}{5}\right) - \exp\left(\frac{4\pi i}{5}\right) - \exp\left(\frac{6\pi i}{5}\right) + \exp\left(\frac{8\pi i}{5}\right)

となります。だんだんとツイートの式に近づいてきました。


さてこのガウス和ですが、次の「とてもきれいな性質」が成り立ちます。

定理１
\displaystyle G_p = \begin{cases} \sqrt{p} & p \equiv 1 \pmod{4} \\ \sqrt{-p} & p \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}

ガウス和の元々の定義は複雑そうなのに、その計算結果はとてもきれいなものになるのです！

tsujimotterはいつ見てもこの式は面白いなと思ってしまいます。


この定理１を証明したのはあのカール・フリードリヒ・ガウスです。だから「ガウス和」と呼ばれるんですね。

証明はやや込み入っているので、次回の記事で改めて紹介したいと思いますが、今回は定理１が成り立つことを受け入れて、計算してみましょう。

例１： \sqrt{5} の作り方

やはり p = 5 のときに考えると、 5 \equiv 1 \pmod{4} なので、定理１より G_5 = \sqrt{5} が成り立ちます。ガウス和の定義を展開した結果と比較すると

\displaystyle \exp\left(\frac{2\pi i}{5}\right) - \exp\left(\frac{4\pi i}{5}\right) - \exp\left(\frac{6\pi i}{5}\right) + \exp\left(\frac{8\pi i}{5}\right) = \sqrt{5}

となります。目的の式まであと少しです。


ここで有名なオイラーの公式

\exp(ix) = \cos(x) + i\sin(x)

を使うと

\displaystyle \begin{align} &\left(\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right) \right) - \left(\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi}{5}\right) \right) \\ &- \left(\cos\left(\frac{6\pi}{5}\right) + i\sin\left(\frac{6\pi}{5}\right) \right) + \left(\cos\left(\frac{8\pi}{5}\right) + i\sin\left(\frac{8\pi}{5}\right) \right) = \sqrt{5} \end{align}

となります。

ところで、右辺を見ると実数ですので、左辺も実数でなければなりません。すなわち、虚部はすべて打ち消されるということです。

一方で、左辺の虚部は \sin の項しかないので、 \cos だけ考えればよいことになります。したがって

\displaystyle \begin{align} \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) - \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) - \cos\left(\frac{6\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{8\pi}{5}\right) = \sqrt{5} \end{align}

となります。

これが冒頭のツイートの式の一つだったというわけですね。


複素数平面で表すと、黒い太矢印の長さが \sqrt{5} になります。

f:id:tsujimotter:20200402002724p:plain:w400

例２： \sqrt{7} の作り方

p = 7 のときも同様に計算できます。 a が 7 の平方剰余であるような a は

1, 2, 4

の３つです。逆に、平方非剰余のリストは

3, 5, 6

となります。
（余談ですが、一般に平方剰余／平方非剰余の個数は一致します。）

また、 7 \equiv 3 \pmod 4 なので、定理１より

\displaystyle \begin{align} &\exp\left(\frac{2\pi i}{7}\right) + \exp\left(\frac{4\pi i}{7}\right) - \exp\left(\frac{6\pi i}{7}\right) \\ &\;\; + \exp\left(\frac{8\pi i}{7}\right) - \exp\left(\frac{10\pi i}{7}\right) - \exp\left(\frac{12\pi i}{7}\right) = \sqrt{-7} \end{align}

が得られるというわけです。

さて今度は \sqrt{-7} = \sqrt{7}i で純虚数です。したがって、左辺は虚部、すなわち \sin の項だけ見ればよく

\displaystyle \begin{align} \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{4\pi}{7}\right) - \sin\left(\frac{6\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{8\pi}{7}\right) - \sin\left(\frac{10\pi}{7}\right) - \sin\left(\frac{12\pi}{7}\right) = \sqrt{7} \end{align}

が得られることになります。


\sqrt{5} のときと同様に、複素数平面上で図形的に表現するとこんな感じになります。

f:id:tsujimotter:20200402003705p:plain:w340

ほかにも

以下同様に、任意の奇素数 p に対して G_p を計算することで cos, sinを使って「 \sqrt{p} を作る式」をいくらでも作ることができます。


\begin{align} \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) - \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \end{align}

\begin{align} \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) - \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) - \cos\left(\frac{6\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{8\pi}{5}\right) = \sqrt{5} \end{align}

\begin{align} \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{4\pi}{7}\right) - \sin\left(\frac{6\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{8\pi}{7}\right) - \sin\left(\frac{10\pi}{7}\right) - \sin\left(\frac{12\pi}{7}\right) = \sqrt{7} \end{align}

\begin{align} &\sin\left(\frac{2\pi}{11}\right) - \sin\left(\frac{4\pi}{11}\right) + \sin\left(\frac{6\pi}{11}\right) + \sin\left(\frac{8\pi}{11}\right) + \sin\left(\frac{10\pi}{11}\right) \\ &- \sin\left(\frac{12\pi}{11}\right) - \sin\left(\frac{14\pi}{11}\right) - \sin\left(\frac{16\pi}{11}\right) + \sin\left(\frac{18\pi}{11}\right) - \sin\left(\frac{20\pi}{11}\right) = \sqrt{11} \end{align}

\begin{align} &\cos\left(\frac{2\pi}{13}\right) - \cos\left(\frac{4\pi}{13}\right) + \cos\left(\frac{6\pi}{13}\right) + \cos\left(\frac{8\pi}{13}\right) - \cos\left(\frac{10\pi}{13}\right) \\ &- \cos\left(\frac{12\pi}{13}\right) - \cos\left(\frac{14\pi}{13}\right) - \cos\left(\frac{16\pi}{13}\right) + \cos\left(\frac{18\pi}{13}\right) + \cos\left(\frac{20\pi}{13}\right) \\ &- \cos\left(\frac{22\pi}{13}\right) + \cos\left(\frac{24\pi}{13}\right) = \sqrt{13} \end{align}

興味を持った方は、ぜひ自分でも計算してみてください！

それでは今日はこの辺で。


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参考文献

ガウス和の性質については、以下の本の３章によくまとまっています。興味をもった方はぜひどうぞ。

素数と2次体の整数論 (数学のかんどころ 15)

素数と2次体の整数論 (数学のかんどころ 15)

  • 作者:青木 昇
  • 発売日: 2012/12/21
  • メディア: 単行本

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