さて物干し竿な季節となりましたが、東京大学2019年度理系第一問積分の問題を解説していきます。
[問題]
次の定積分を求めよ。
∫(0,1)(x²+x/√(1+x²)(1+x/(1+x²)√(1+x²)dx
[解答と解説]
√(1+x²)の積分は東大でも京大でもよく出てきますね。
そらもう
√(1+x²)=t-xとかx=tanθ
と置換やろ。
いつものやり方ですね
1+x²=t²-2tx+x²でxについて解いて
x=(t²-1)/2t
微分して
dx=(t²-1)/2t²dt
それで
√(1+x²)=t-x=t-(t²-1)/2t²=(t²+1)/2t²
やったな。
もうお決まりや。
ちゃうねん、ちゃうねん。
もうお決まりやねん。
x=0のときt=1
x=1のときt=1+√2で
∫(1,1+√2)((t²-1)/2t+2t/(t²+1)(t²-1)/2t)(1+((t²-1)/2t)/((t²+1)/2t)³)dt
…
ってやってると
あれ？あいつおらへんぞ
って探してたら
冷たくなって倒れてるところを発見されることになります。
これは頑張ったら出来るねんけど、それは理論上できるっていう話なだけであって限られた時間で要領よく解く方法と言うわけではないねん。
そしたらどうすればよいのかと言うと
展開して整理して、項がそれぞれどうなってるかを見てあげるねん。
よく考えると、どの積分は普通は展開してそれぞれの項ごとにどうやって計算してあげたらいいかを無意識にやってるしな。
展開していくと
x²
と
x/√(1+x²)
はそもそも普通に積分できました。
[1/3x³+√(1+xx²)](0,1)
=√2-2/3
すると残りの項は
x³/(1+x²)√(1+x²)
と
x²/(1+x²)²
は√(1+x²)があるからx=tanθとかでやってみよか
x=0のときθ=0
x=1のときθ=π/4
と対応させて
dx=1/cos²θdθ
そしたら
(1-cos²θ)/cos²θ・sinθの項は
(cosθの関数)×(cosθ)'
と
sin²θは(1-cos2θ)/2
で積分できますね。
これで
[1/cosθ+cosθ+1/2θ1-1/4sin2θ](0,4/π)
=(3√2)/2-9/4+π/8
やからあわせて
(5√2)/2-35/12+π/8
となります。
やることは基本的なのに詰まる。
東大らしい問題ですが，過去問で慣れて点数を固めてください。
東京大学の入試の数学の過去問の解説
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