君らもやす子にしばいてもらおか。
慶應大学医学部2009年度の第四問の解説
[問題]
以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。、また、設問(2),(3)に答えなさい。
平面上を運動する点Pの、時刻tにおける座標(x,y)が
x=f(t)=cos2t+tsin2t,y=g(t)=sin2t-tcos2t
と表されているとする。
(1)点Pの時刻tにおける加速度ベクトルα→を求めるとα→=((あ),(い))である。
(2)時刻t(ただしt≠0)における点Pをとおり、その時刻における加速度ベクトルα→に平行な直線をlとするとき、lは必ず原点を中心とする半径1の円Cに接することを示しなさい。その接点Qの座標は((う),(え))である。
(3)f(t)は区間0≦t≦π/2で減少することを示しなさい。
(4)tがπ/4からπ/2まで変化するとき線分PQが動いてできる図形の面積Sを求めるとS=(お)である。
[解答と解説]
(1)
加速度ベクトルは位置を二階微分したもので
f''(t)=-4tsin2t
g''(t)=4tcos2t
だからα→=(-4tsin2t,4tcos2t)です。
これはtsin2tとかの微分がややこしいだけやな。
(2)
lの傾きは4tcos2t/(-4tsin2t)とかやるとsin2tが0の時とかと場合分けが大変やから、
0でない2つのベクトル、a→=(a_1,a_2),b→=(b_1,b_2)があるとき
a→//b→⇔
a_1=tb_1,
a_2=tb_2となるt(≠0)が存在
⇔
a_1b_2-a_2b_1=0
これを使うとよくてl上の点RをR(x,y)とすると
→PR=(x-f(t),y-g(t))
これがα→と平行であればええから
(x-f(t))4tcos2t-(y-g(t))(-4tsin2)=0
⇔
t((cos2t)x+(sin2t)y-1)=0
t≠0だから
(cos2t)x+(sin2t)y=1
これは円C:x^2+y^2=1の点(cos2t,sin2t)における接線になってるわけや。
x^2+y^2=r^2の点(x',y')における接線は
x'x+y'y=r^2
ってやつな。
(3)
これは二階微分まで調べたらわかるってやつで
0＜t＜π/2においてf''(t)=-4tsint＜0
だから0≦t≦π/2でf'(t)は減少関数だから
0＜t＜π/2において
f'(t)＜f(0)=0
よって0≦t≦π/2でf(t)は減少関数
この0＜t＜π/2と0≦t≦π/2の違いは何なのか？って言う疑問がわくかもしれませんが、そもそも単調減少関数とか減少関数とか定義があいまいなわけやねんな。
本に任意のx,y(x＜y)に対してf(x)≧f(y)が単調減少とかf(x)＞f(y)が減少とか本によって定義が違うねん。
だから適当でも大丈夫だと思います。
一応解答は、減少関数とは任意のx,y(x＜y)に対してf(x)＞f(y)がなりたつことの解答にして、f'(t)≦0って等号があると、もしa≦t≦b(a＜b)でf'(t)=0とするとa≦x＜y≦bとなるx,yに対してf(x)=f(y)になるかもしれないからf'(t)＜0を示しました。
(4)
まずPQ=tです。
それで(2)から点Pは円Cの点Qにおける接線上で、(3)より点Pはtが増加するとx軸負の方向へ移動することがわかりました。
これでPQの動く範囲の図がかけます。
すると、
S=∫(-1,π/4)ydx-(円Cの1/4)-(横π/4高さ1の長方形)
になります。
これを計算していきます。
まず円Cの面積はπでこの1/4はπ/4
長方形も1×π/4=π/4
∫(-1,π/4)ydxの部分は計算しまくって剥離骨折してください。
基本は2倍角を使っていって、部分積分で三角関数の方を積分してtを微分してなくしていきます。
答えは
7π^3/192
とか人を不安にさせる答えになりました。
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