受験数学かずスクール大阪大学の過去問

回転体の体積の問題、大阪大学2008年度理系第四問の解説

ちょっと北海道の無人島に静養いしに行ってくるわ。

大阪大学2008年度理系の第四問の解説します。

[問題]

tを負の実数とし、xy平面上で曲線y=2^(2x+2t)と曲線y=2^(x+3t)およびy軸で囲まれる部分をDとする。
(1)Dをx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積V(t)を求めよ、
(2)tが負の実数の範囲を動くとき、V(t)の最大値を求めよ。

[解答と解説]
特になんとも無いごく普通の数学3Cの問題です。
ただ一つ言うなら、回転体の体積の求めかたと2^xの積分が出来るかってことぐらいです。

二つ言うてるけどな。

どんな難関大学でさえ、普通の数学3Cの問題が出されることがよくあるから絶対に数学3Cはマスターしておいてください。
やり方さえちゃんと覚えれば、数学1Aや2Bと違って簡単に解けるし非常にコストパフォーマンスは高いです。

それでも入試本番で数学3Cやってへんわ、うへ～って白目むいてあほみたいな顔してるやつがおるわけやねんな。

まあ大学からしても数学3Cがままならんようじゃ困るわけやねん。

(1)

まずはグラフを書かなあかんねんけど回転体の体積を求めるだけやから、微分して詳しく書く必要はなくて大小関係や交点などがわかれば十分です。

そうやな、差を計算するとわかりやすいかな。

2^(2x+2t)-2^(x+3t)=2^(x+2t)(2^x-2^t)

でこの正負で大小関係はかわるねんけど、2^(x+2t)の部分は正やから2^x-2^tだけ考えたらよくて

x＜tの時、2^(2x+2t)＜2^(x+3t)
x=tの時、2^(2x+2t)=2^(x+3t)
x＞tの時、2^(2x+2t)＞2^(x+3t)

それでグラフを書いて、Dを図示しときます。

図からDをx軸でまわりの回転体は、Dの上側の境界のグラフy=2^(2x+2t)による回転体から下側のy=2^(x+3t)による回転体を引いたらよくて

V(t)=π∫(t,0)(2^(2x+2t))^2dx-π∫(t,0)(2^(x+3t))^2dx
=π∫(t,0)(2^(4x+4t)-2^(2x+6t))dx

後は2^xの積分やな。
e^xしか積分せえへんから、忘れやすいけど

∫2^xdx=2^x/log2+C(Cは∫定数)

まあe^xの積分はe^xがわかってれば

∫2^xdx=∫e^(xlog2)x
=e^(xlog2)/log2+C
=2^x/log2+C

って言うように導けるねんけど。

それで計算していって
V(t)=π[e^(4x+4t)/4log2-2^(2x+6t)/2log2](t,0)
=π/4log2・(2^8t-2・2^6t+2^4t)
=π/4log2・2^4t(2^2t-1)^2

(2)

単純にxで微分して増減を調べても全然問題ないねんけど、一応X二次関数で出来て
X=2^tとおくとt＜0から0＜X＜1で

V(t)=π/4log2・X^2(X-1)^2
=π/4log2・(X(1-X))^2

0＜X＜1だからX(1-X)＞0で

X(1-X)=-(X-1/2)^2+1/4

より0＜X(1-X)≦1/4⇔0＜{X(1-x)}^2≦1/16だから{X(1-X)}^2はX=1/2つまりt=-1/2の時、最大値16をとるから、V(t)はこの時最大で最大値はπ/64log2になります。

大阪大学の入試の数学の過去問の解説

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

【2009/09/29 00:56】 | 大阪大学の過去問 | TRACKBACK(0)

▲ページトップへ

微分と数列の問題、大阪大学2008年度理系の第三問の解説

なんか汗臭いおっさんとすれ違った時のテンションやわ。
もうやる気なくした。

今日は適当や。

大阪大学2008年度の理系の第三問の解説。

[問題]

Nを2以上の自然数とする。
(1)関数f(x)=(N-x)logxを1≦x≦Nの範囲で考える。このとき、曲線y=f(x)は上に凸であり、関数f(x)は極大値を1つだけとる。このことを示せ。

(2)自然数の列a_1,a_2,…,a_Nを
a_n=n^(N-n)(n=1,2,3,…,N)
で定める。a_1,a_2,…,a_Nのうちで最大の値をMとし、M=a_nとなるnの個数をkとする。このときk≦2であることを示せ。

(3) (2)でk=2となるのは、Nが2のときだけであることを示せ。

[解答と解説]

凸であることを調べろってことは二階微分せなあかんってことやな。

まあとりあえずは2階微分してみよ、

f'(x)=-logx+(N-x)/x
f''(x)=1/x-1/x^2

で1≦x≦Nやからf''(x)＜0で上に凸ってことがわかります。

それと、f''(x)はf'(x)の微分であるってことも忘れたらあかんかって、f''(x)＜0ってことはf'(x)は単調減少なわけやな。

より正確に言うにはg(x)を関数としてg(x)が単調減少であるとは
a＜bの時g(a)＞g(b)
と
a＞bの時g(a)≧g(b)
の二つが本によってバラバラに定義されていますが、今回はf''(x)＜0だから
a＜bの時g(a)＞g(b)
の方になるので、イコールがつかないことを明確に区別して扱いたい時には

狭義単調減少

と言う言葉を使ってみてください。

まあ、本当はちゃんと区別せなあかんのに適当な模範解答も見られるからそこまで要求されることあんまり無いんやろうけどな。

それでf(x)が極大値をただ一つ持つってことはf'(x)が定義でf'(x)=0となるxがただ一つあって狭義単調減少なわけやから定義域の端点のx=1で正で、x=Nで負であることが言えるんちゃうかって予想がたつわけやねんな。

実際f'(1)=N-1＞0,f'(N)=-logN＜0

でf'(α)=0(1＜α＜N)となるαがただ一つ存在することになります。

ここで単調減少って言葉が
a＞bの時g(a)≧g(b)
を意味してしまったら、これを示しただけでは例えば
f'(x)=
(x-3)^2(1≦x＜3)
0(3≦x＜4)
-(x-4)^2(4≦x＜N)
と言うような関数ならば、今書いた意味の単調減少でf'(x)=0となるxが無限にある(非可算無限とか言う)ことになるから困るねんな。

まあなんか頭わけわからんことなったら、気にしないでください。

高校ではこの辺あまり気にしなくてもたぶん大丈夫やし、何よりも増減表を書いたらはっきりこの辺のことが示されるので増減表を書いておけば大丈夫です。

言葉をだらだら書くより増減表やな。

(2)

これはなんか問題文にややこしいことを書いてて、難しそうやねんけどとりあえず(1)で書いた増減表とかを元にしてグラフを書いてみてください。
数学は考える前にまずは図やからな。

なんでy=(N-x)logxのグラフなんか言うたらloga_n=(N-x)logn=f(n)やから、f(n)=logMとなる個数を調べたらええわけやねんな。

まあそれはさすがにピンと来るかもしれんな。

それでy=(N-x)logxのグラフを書いてみたら、そもそもy=一定の直線をどこの引いても共有点は2個以下やろ。

だからMがどんな値であろうとy=(N-x)logxとy=logMの共有点は2個以下やし、さらに整数の点になるものだけ考えても2個以下なわけや。

だからk≦2やねん。

これMが最大値とか書いてるけど関係ないねんな。

解析的な問題ではこういう、そもそも実数でも成り立たないことを示したり、そもそもMはどんな値でも成り立たないとか言うような論理をよく使うからこの示しかた覚えとってください。

(3)

a_1=1,a_N=1やからk=2となる時はN=2となる時ってことはa_1=1,a_2=1で最大値1ってことやろな。

f(x)はx=αで最大やったからその隣にあるxが整数になる点がf(n)が最大になる点でa_nも最大になるわけやけど、x=αの両隣の二つのxが整数になる点の値が同じやったらええわけや。

だからiをi≦α＜i+1となる自然数として
f(i)=f(i+1)
やったらええねん。

f(i)=f(i+1)⇔a_i=a_(i+1)
⇔i^(N-i)=(i+1)^(N-i-1)

凄い解析的な考え方が続いてたけど、こっからは整数問題になってiとi+1は連続2整数やからどっちかが奇数でどっちが偶数なわけやん。

だからこの式が成り立つには、偶数と奇数が等しいわけがないから偶数の方の指数を0にして1にしたら奇数にやん。
それで奇数の方を1にしたらええねん。

つまりiが偶数の時はi+1が奇数で
N-i=0かつ1=i+1
⇔
i=N=0
これはiが0なのもおかしいしN≧2やったから不適やな。

iが奇数の時はi+1が偶数で
N-i-1=0かつi=1
⇔
i=1、N=2
これはオッケーでN=2って決まります。

この問題は数列の問題を解くのに、まず実数の範囲で考えて、それから整数の点を考えると言う流れの問題で色々とよく使う考え方が入っているし、実数の範囲で考える誘導がついてますがもっと難しい問題では自分で関数を設定しなければならないこともあるので、この解き方とか流れを覚えておいてください。

大阪大学の入試の数学の過去問の解説

整数問題の解法の解説と問題演習

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

【2009/09/27 01:25】 | 大阪大学の過去問 | TRACKBACK(0)

▲ページトップへ

平面図形の問題、大阪大学2008年度理系第二問文系第一問の共通問題の解説

最近栄養不足になって寝込んで初めて、チャート式じゃないのを買わされた奴の気持ちがわかった。

大阪大学2008年度理系第二問の解説です。

[問題]

点Oで交わる2つの半直線OX,OYがあって∠XOY=60°とする。2点A,BがOX上にO,A,Bの順に、また、2点C,DがOU上にO,C,Dの順に並んでいるとして、線分ACの中点をM,線分BDの中天をNとする。線分ABの長さをs,線分CDの長さをtとするとき、以下の問いに答えよ。

(1)線分MNの長さをsとtを用いて表せ

(2)点A,BとC,Dがs^2+t^2=1を満たしながら動くとき、線分MNの長さの最大値を求めよ。

[解答と解説]
数学の問題はまず考える前に図を描いてみる。

これがもう一番大切なことくらいやねんけどベクトルの問題の場合、図を考えると

かえって、こういう世界に足を踏み込んでしまいます。

ベクトルは図よりも式だけを見て定石にしたがって計算した方がやりやすいことが多いです。

それはベクトル自体が代数的に定義されいて図形的なものが計算で扱えるってことがメリットがあったわけやからな。
ただもっと難しい問題とかでは図を描いて図で考えるのが大切になってきたりするので忘れないでください。

(1)

早速やっていきますが

Mは線分ACの中点より

OM→=(OA→+OC→)/2
ON→=(OB→+OD→)/2

ってあほみたいに白目むきながら計算して|MN→|を求めるから始点をOに揃えて

MN→=ON→-OM→
=(OA→-OB→+OC→-OD→)/2
=(BA→+DC→)/2

で|MN→|求めようとしたら、内積がいるから∠XOY=60°より

BA→・DC→=|BA→||DC→|cos60°
=st/2

よって

|MN→|=1/2・√(BA→+DC→)^2
=1/2・√(|BA→|^2+2BA→・DC→+|DC→|^2)
=1/2・√(s^2+st+t^2)

となんも考えずにあほみたいに白目むいて計算した方がうまくいきます。

(2)

s^2+t^2=1と言う関係式があるとき,s,tの式になってるMNの長さ
1/2・√(s^2+st+t^2)
の最大値を求める時は、s=cosΘ,t=sinΘって置くと簡単に求まりやすいことが多いです。

ただしs＞0,t＞0だから0＜Θ＜90°です。

|MN→|=1/2・√(s^2+st+t^2)
=1/2・√((cosΘ)^2+cosΘsinΘ+(sinΘ)^2)
=1/2・√(1+(sin2Θ)/2)

0＜2Θ＜180°より最大値はΘ=45°の時、1/2・√(1+1/2)=(√6)/4

をとります。

これはチャート式などでベクトルの例題などしっかり覚えてマスターしていれば、ええ得点源になる類の問題やと思います。

大阪大学の入試の数学の過去問の解説

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

【2009/09/25 23:16】 | 大阪大学の過去問 | TRACKBACK(0)

▲ページトップへ

<<前のページ | BLOG TOP | 次のページ>>