ガウス分布とは？ わかりやすく解説

また、多変量の統計として共分散まで込めた多次元の正規分布も定義され、平均 μ = (μ₁, μ₂, …, μ_n) の n 次元正規分布の同時密度関数は次の式で与えられる。

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{n}{\sqrt {\vert {\mathit {\Sigma }}\vert }}}}\exp \!\left(-{\frac {1}{2}}(x-\mu )^{\mathrm {T} }\,{\mathit {\Sigma }}^{-1}(x-\mu )\right)}$

正規分布の拡張としては、上で示した多次元化を施した多変量正規分布の他に、歪正規分布 (Skew-Normal (SN) distribution) がある。これは三変数で表現され、そのうち1つの変数について α = 0 のときに正規分布となることから、分布を平均と分散の二変数で表現する正規分布の拡張であるといえる。φ(x) を標準正規分布の確率密度関数とする。

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$

正規分布が統計学上特別な地位を持つのは中心極限定理が存在するためである。中心極限定理とは、「独立同分布に従う確率変数 ${\displaystyle X}$

何らかの事象について法則性を捜したり理論を構築しようとしたりする際、その確率分布がまだ分かっていない場合にはそれが正規分布であると仮定して推論することは珍しくないが、誤った結論にたどりついてしまう可能性がある。標本データが正規分布に近似しているかどうを判断するためには、尖度と歪度を調べる、ヒストグラムを見る、正規Q-Qプロットをチェックする、あるいはシャピロ–ウィルク検定やコルモゴロフ–スミルノフ検定（正規分布）を利用する方法などが一般的に行われている。

点推定

平均や分散が未知の正規分布に従うデータから、母数 θ = (μ, σ²) を推定したいことがある。これには次の推定量 ${\displaystyle {\hat {\theta }}=({\hat {\mu }},{\hat {\sigma }}^{2})}$

正規分布 N(μ, σ²) からの無作為標本 x を取ると、平均 μ からのずれが ±1σ 以下の範囲に x が含まれる確率は 68.27%、±2σ 以下だと 95.45%、さらに ±3σ だと 99.73% となる^[1]。

正規分布は、t分布やF分布といった種々の分布の考え方の基礎になっているだけでなく、実際の統計的推測においても、仮説検定、区間推定など、様々な場面で利用される。

正規分布 N(μ, σ) に従う確率変数 X が与えられたとき Z = X − μ/σ と標準化すれば確率変数 Z は標準正規分布に従う。大学レベルの統計入門のクラスでは必ず行われているが、Z 値を求めることで標準正規分布表と呼ばれる変量に対応した確率を表す一覧表を用いて、コンピュータを使うことなく正規分布に従った事象の確率を求めることができる。

不連続値をとる確率変数についての検定の場合でも、連続変数と同様の考え方で正規分布を近似的に用いることがある。これは標本の大きさ n が大きく、かつデータの階級幅が狭いほど、近似の精度が高い。

信頼区間に対する信頼度の推移

信頼区間	信頼度	危険率
	百分率	百分率	比
0.318 639σ	25%	75%	3/4
0.674490σ	50%	50%	1/2
0.994458σ	68%	32%	1/3.125
1σ	68.2689492%	31.7310508%	1/3.1514872
1.281552σ	80%	20%	1/5
1.644854σ	90%	10%	1/10
1.959964σ	95%	5%	1/20
2σ	95.4499736%	4.5500264%	1/21.977895
2.575829σ	99%	1%	1/100
3σ	99.7300204%	0.2699796%	1/370.398
3.290527σ	99.9%	0.1%	1/1000
3.890592σ	99.99%	0.01%	1/10000
4σ	99.993666%	0.006334%	1/15787
4.417173σ	99.999%	0.001%	1/10,0000
4.5σ	99.9993204653751%	0.0006795346249%	1/14,7159.5358
4.891638σ	99.9999%	0.0001%	1/100,0000
5σ	99.9999426697%	0.0000573303%	1/174,4278
5.326724σ	99.99999%	0.00001%	1/1000,0000
5.730729σ	99.999999%	0.000001%	1/1,0000,0000
6σ	99.9999998027%	0.0000001973%	1/5,0679,7346
6.109410σ	99.9999999%	0.0000001%	1/10,0000,0000
6.466951σ	99.99999999%	0.00000001%	1/100,0000,0000
6.806502σ	99.999999999%	0.000000001%	1/1000,0000,0000
7σ	99.9999999997440%	0.000000000256%	1/3906,8221,5445

標準正規分布表

引用元：(成実清松 & 坂井忠次 1952)

標準正規分布${\displaystyle X\sim N(0,1)}$