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センター試験2012年度数学2Bの第2問の解説します
[問題]
座標平面上で曲線y=x^3をCとし,放物線y=x^2+px+qをDとする。
(1)曲線C上の点P(a,a^3)におけるCの接線の方程式は
y=3a^[ア]x-[イ]a^[ウ]
である。放物線Dは点Pを通り,DのPにおける接線と,CのPにおける接線が一致するとする。このとき,pとqをaを用いて表すと
p=3a^[エ]-[オ]a
q=[カキ]a^3+a^[ク] …①
となる。
以下,p,qは①を満たすとする。
(2)放物線Dがy軸上の与えられた点Q(0,b)を通るとき
b=[ケコ]a^3+a^[サ]…②
が成り立つ。与えられたbに対して,②を満たすaの値の個数を調べよう。
そのために,関数
f(x)=[ケコ]x^3+x^[サ]
の増減を調べる。関数f(x)は,x=[シ]で極小値[ス]をとり,
x=[セ]/[ソ]で極大値[タ]/[チツ]をとる。
関数y=f(x)のグラフをかくことにより,[ス]＜b＜[タ]/[チツ]のとき,②を満たすaの値の個数は[テ]であることがわかる。
(3)放物線Dの頂点がx軸上にあるのは,a=[ト],[ナ]/[ニ]の二つの場合である。
a=[ト]のときの放物線をD_1,a=[ナ]/[ニ]のときの放物線をD_2とする。D_1,D_2とx軸で囲まれた図形の面積は2^[ヌ]/3^[ネノ]である。
[解答と解説]
(1)まず微分ですね。
y=x^3を微分して
y'=3x^2
よってx=aにおける傾きは3a^2で(a,a^3)を通るわけやから接線は
y=3a^2(x-a)+a^3
=3a^2x-2a^3
次はCとDが点Pにおいて共通接線を持つか。
これは直線は傾きと一つとの通る点を決めれば、決まるから
点Pにおける接線の傾きが等しいと言うことから
(x^2+px+q)'=2x+p
より
3a^2=2a+p
また点Pを通るから
a^3=a^2+pa+q
この二つでええねん。
これをまとめて
p=3a^2-2a
q=a^3-a^2-pa
=a^3-a^2-3a^3+2a^2
=-2a^3+a^2
以下これを満たすらしいな。
こういうのが忘れそうで、センター特有の難しさやな。
(2)
Dが(0,b)を通るからy=x^2+px+qに代入して
b=q
=-2a^3+a^2
それでとりあえず
f(x)=-2x^3+x^2
を考えるらしい。
ようわからんままにやっていくのがコツやねん。
微分して
f'(x)=-6x^2+2x
=-6x(x-1/3)
だからx=0で極小値0をとり
x=1/3で極大値1/27
こんなん増減とか考えずに解答欄の形からこれしか入らんから、入れるねん。
なんでも入れられるときに入れとかな、後から後悔するわけや。
いやいや、そういう意味じゃないよ。
お賽銭とかの話や。
それでy=f(x)のグラフをかくことで、あれやろな。
定数分離のことやろな。
y=f(a)のグラフを書いて、y=bと交わる個数でaの値の個数がわかるから
ちょうど極大と極小の間やな。
だから3個ですわ。
(3)放物線Dの頂点がx軸上にあるってことは
x^2+px+q=0
の判別式が0ってことやな。
p^2-4q=0
(3a^2-2a)^2-4(-2a^3+a^2)=0
9a^4-4a^3=0
a^3(9a-4)=0
だから
a=0,4/9
a=0の時の放物線をD_1,a=4/9の時の放物線をD_2とするってことは、
x^2の係数は1で,軸はx=-p/2やから、この部分だけ計算して
a=0ではp=0よりx=0でD_1はx軸に接すると、
a=4/9でp=-8/27よりx=-4/27でD_2はx軸に接するやから
y=x^2とy=(x-4/27)^2で交点は、中点の2/27
対称性から左側の2倍すればええから
2∫(0,2/27)x^2dx=[2x^3/3](0,2/27)
=2・2^3/(3^9・3)
=2^4/3^10
こうやって、早く正確に解けるにしていくわけやな。
解けるけど、時間が足りないと言ってると
q=-2a^3+a^2
にもaの値を代入してp,qを求めてから
y=x^2+px+q
に入れてまともに積分やってたら、それは解けるのレベルがやっぱ低いねん。
だから解けるつもりでも、繰り返したり、解答例を覚えて吸収していかなあかん。
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