受験数学かずスクールセンター試験数学2B、2001年度の第１問…三角関数と指数関数の問題の解説

センター試験数学2B、2001年度の第１問…三角関数と指数関数の問題の解説

センター試験の2001年度の解説を依頼受けたから、解説しますわ。

オレもさっそうはるにやな。

また意味わからんこと言いだしたか。

センター試験2001年度数学2Bの第一問の解説です。

[問題]
[1]
(1)0°＜θ＜90°とする。
tanθ+1/tanθ=[ア]/sin[イ]θ

tanθ-1/tanθ=[ウエ]cos[オ]θ/sin[カ]θ

であり、これらを用いてtan15°を求めると

tan15°=[キ]-√[ク]

である。

(2)θが15°≦θ≦60°の範囲を動くとき、tanθ+1/tanθは

θ=[ケコ]°のとき最小値[サ]

θ=[シス]°のとき最大値[セ]

をとる。

[2]方程式
4/(√2)^2+5/2^x=1
の解xを求めよう。

X=1/(√2)^x…①

とおくと、Xの方程式
[ソ]X^2+[タ]X-1=0
が得られる。

一方,①よりX＞[チ]である。したがって

X=[ツ]/[テ]
を得る。これから、求めるxは
x=[ト]log_2([ナ])
となる。

[解答と解説]
[1]

昔、お袋はtanθは一日3時間以上見たらあかん言うてたの思い出すな。

そんなtanθやけど、だいたい

「tanθが絡んだ変形はtanθ=sinθ/cosθになおす」

と上手くいきやすいです。

それを意識してやります。

tanθ+1/tanθ=sinθ/cosθ+cosθ/sinθ

で通分して

={(sinθ)^2+(cosθ)^2}/(cosθsinθ)

分子は1で、分母は

cosθsinθと言う形がこれば、sin2θ=2cosθsinθ

を使います。

=1/(1/2・sin2θ)
=2/sin2θ

同様にして

tanθ-1/tanθ=sinθ/cosθ-cosθ/sinθ
={(sinθ)^2-(cosθ)^2}/(cosθsinθ)

分母はさっきと同じで、分子の方が

(cosθ)^2-(sinθ)^2=cos2θ

を使います。

=cos2θ/(1/2・sin2θ)
=-2cos2θ/sin2θ

2倍角の公式をパっと出るくらいに覚えていないと、中々難しいわけやな。

そしたら2倍角の公式一緒に覚えよか。

sin2θ=2sinθcosθ
(新2年生は2回死ねって言われて殺された)

ウツになるわ！

まあ忘れた場合は加法定理を使ってください。
sin(2θ)=sin(θ+θ)
=sinθcosθ+cosθsinθ
=2sinθcosθ

cos(2θ)=cosθcosθ-sinθsinθ
=(cosθ)^2-(sinθ)^2

それでtan15°はどう求めるかというと、さっきの式を使えと言わんばかりやけど

tan15°+1/tan15°=2/sin30°=4

tan15°-1/tan15°=-2cos30°/sin30°=-2√3

それで、こんな形の式は足して1/tan15°を消去するのがコツです。

だから辺々足して

2tan15°=4-2√3
から
tan15°=2-√3

まあ
tan15°=tan(45°-30°)に加法定理を使っても普通に出来るねんけどな。

それでtanθ+1/tanθの最大値と最小値は

これはx+1/xの形やから相加相乗平均の関係を使って
x+1/x≧2√(x・1/x)=2
やなって思いそうですが、これでも出来ますが最大値が困ります。

そういうことをやるんじゃなくて、センターの場合はしっかり誘導に乗ってください。

さっき

tanθ+1/tanθ=2/sin2θ

って導かされたから、これを使えば2/sin2θの方は簡単に最大値と最小値が求まります。

まずはsin2θの範囲を求めます。
15°≦θ≦60°から30°≦2θ≦120°より単位円を書いて1/2≦sin2θ≦1です。

1/2をとるのはθ=15°,1をとるのはθ=45°のときですね。

これで分母にsin2θがあるから、

1≦1/sin2θ≦2

になります。
逆数をとって、不等号の向きは反対になります。

まあ分母が大きいと、値は小さくなるし、分子が小さいと、値は大きくなると言う逆のことが起こるからな。

よって

2≦2/sin2θ≦4

でθ=45°のとき最小値2
θ=30°のとき最大値4をとるってわかりました。

[2]

4/(√2)^2+5/2^x=1
とこれば

X=1/(√2)^xとおいて二次方程式を作る

って言うのが、お決まりです。

1/2^x=(1/√2^x)^2=X^2

だから
4X+5X^2=1⇔5X^2+4X-1=0

です。

一方①よりX＞[チ]と書いてますが、y=a^x(a＞0)の指数関数は正やから

X＞0

です。

これはもう

X=1/(√2)^xと「置いたら定義域はX＞0

ってやるのがお決まりのセリフやねんな。

それでXの二次方程式を解いて

5X^2+4X-1=0
⇔
(5X-1)(X+1)=0

でX=1/5,-1って出るけど[ツ]/[テ]の形からX=1/5が入ることがわかります。

もっと、ちゃんと説明するとX＞0やからX=-1の方は不適ってことやねん。

それでこれから、求めるxは

1/(√2)^x=1/5

を解けばよくて、まずは逆数をとって

√2^x=5

解答蘭が
x=[ト]log_2([ナ])
やから、2を底にしたlogをとって欲しいわけやな。

だから√2は2の1/2乗やから、

√2^x=(2^(1/2))^x
=2^(x/2)に注意して

log_2(√2^x)=log_2(5)
⇔
log_2(2^(x/2))=log_2(5)
⇔
x/2=log_2(5)
⇔
x=2log_2(5)

もう疲れてきた。
ちょっとイキってたかもしれんな。

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【2010/05/19 20:33】 | センター試験の過去問の解説 | TRACKBACK(0)

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