x軸上を動く質量mの自由粒子のハミルトニアンは
H=1/2m・p^2
ここでp=(h/i)1/∂x
これはx軸に沿って動かしても不変。
こういう対称性をどのように表すのか。
群Gを加法群としての実数Rとし
ベクトル空間V上をg∈G移動させるGの表現を考える。
まずはg∈G,|x＞∈Vに対して
U(g)|x＞=|x+g＞
と演算子U(g)を定めると
U(g)^(-1)HU(g)=U(g)^(-1)1/2m・p^2U(g)
=1/2m(U(g)^(-1)pU(g))^2
=1/2m・p^2
=H
で
U^(-1)HU=H
HU=UH
UとHは可換になり
heisenberg方程式
d(U)/dt=1/ih[U,H]
=1/ih(UH-HU)
=0
だからHはUに対して不変である。
この不変性つまりGに対する対称性を表現すること考える。
G × V → V
g,|x＞ → g|x＞
Ρ:G→U
g→U(g):|x＞→|x+g＞}
Ρ(g):|x＞→g|x＞
g|x＞=Ρ(g)|x＞
=U(g)|x＞
=|x+g＞
とgに対して演算子U(g)を対応させる写像Ρを定めると
∀g,g'∈G
Ρ(g+g')|x＞=U(g+g')|x＞
=|x+g+g'＞
=U(g)|x+g'＞
=U(g)U(g')|x＞
=Ρ(g)Ρ(g')|x＞
となりΡは凖同型でGの表現になる。
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