センター試験2005年度数学1Aの第3問、数列の問題がはじまるよ～
[問題]
第3問
(1)数列{a_n}の初項から第n項までの和S_n=∑(k=1～n)a_kが
S_n=-n^2+24n (n=1,2,3,…)
で与えられるものとする。このときa_1=(アイ),a_2=(ウエ)である。
またa_n＜0となる自然数nの値の範囲はn≧(オカ)であり、
∑(k=1～40)|a_kl=(キクケ)
となる。
(2)初項1,公比3の等比数列を{b_k}とおく。各自然数nに対して、b_k≦nを満たす最大のb?kをc_nとおく。
例えば、n=5のとき
b_2=3,b_3=9であり、b_1＜b_2≦5＜b_3＜b_4＜…
なのでc_5=b_2=3である。
(i)c_10=(コ)であり、c_n=27である自然数nは全部で(サシ)個ある。
(ii)∑(k=1～30)c_k=(スセソ)である。
[解答と解説]
(1)a_1はS_1のことでもあるので
a_1=S_1=-1+24=23
です。
S_2=a_1+a_2でS_2=44だかｒ
a_2=44-23=21
です。
n≧2のとき、a_n=S_n-S_(n-1)
で求められますが、S_n=-n^2+24nって形からこれは{a_n}は等差数列と言わんばかりでa_1=23,a_2=21と求めさせられましたが、これから公差は21-23=-2とわかるから
a_n=23+(n-1)(-2)
=-2n+25
とわかります。
そして
a_n＜0になるのは
-2n+25＜0
⇔
n＞25/2
からn≧13です。
n≦12ではa_n＞0です。
だから
∑(k=1～40)|a_kl=∑(k=1～12)a_k-∑(k=13～40)a_k
=∑(k=1～12)a_k-∑(k=1～40)a_k+∑(k=12～40)a_k
=2S_12-S_40
=2(-144+288)+1600-960
=928
センターはちゃんと前問が誘導になってるので意図を読み取って、わざわざまともに∑計算してまうようなことはないようにしてください。
しかし意図が読めない場合は、ごり押しで計算するって言うのも一つの作戦です。
悩む暇があれば計算したほうが早いこともあります。
(2)b_n=3^(n-1)
(i)c_10はb_k≦10となる最大のb_kってことですが、問題文の例のまねをして
b_3=9,b_4=27
だから
9=b_3≦10＜b_4=27
でc_10=9とわかりました。
c_n=27となるのは
27=b_4≦n＜b_5=81
を満たすnではすべてc_n=b_4=27です。
だから
n=27,28,…,80
で個数は80-27+1=54個です。
(ii)(i)の考え方から、
c_n=b_1=1
となるnは
1=b_1≦n＜b_2=3
だからn=1,2の2個
c_n=b_2=3
となるnは
3=b_2≦n＜b_3=9
よりn=3,4,5,6,7,8の6個
c_n=b_3=9
となるnは
9=b_3≦n＜b_4=27
よりn=9,10,11,…,26の26-9+1=18個
c_n=b_3=27
となるnはn≦30の範囲で
27=b_4≦n＜b_5=81
よりn=27,28,29,30の4個
だから
∑(k=1～30)c_k=1×2+3×6+9×18+27×4
=290
これも(ii)は(i)のc_n=27となるnは何個とか言う問いがヒントになってます。
だからセンター試験は前問を見て考えればヒントになってたり、組み合わせれば答えが出たりします。
センター試験の過去問の解説
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