センター試験は数学1Aと数学2Bとに分かれてるから孤独を感じるんかもしれんな。
と言うことで、2006年度数学2B第4問ベクトルの問題をやりましょう。
孤独や…。
[問題]
第4問
平面上の三つのベクトルa→,b→,c→は
|a→|=|b→|=|c→|=|a→+b→|=1
を満たし、c→はa→に垂直で、b→・c→＞0であるとする。
(1)a→とb→の内積は
a→・b→=(アイ)/(ウ)
である。また
|2a→+b→|=√(エ)
であり、2a→+b→とb→のなす角は(オカ)°である。
(2)ベクトルc→とa→とb→で表すと
c→=(√(キ))/(ク)・(a→+(ケ)b→)
である。
(3)x,yを実数とする。ベクトルp→=xa→+yc→が
0≦p→・a→≦1,0≦p→・b→≦1
を満たすための必要十分条件は
(コ)≦x≦(サ),x≦(√(シ))y≦x+(ス)
である。xとyの上の範囲を動くとき、p→・c→は最大値√(セ)をとり、この最大値をとるときのp→をa→とb→で表すと
p→=(ソ)a→+(タ)b→
である。
[解答と解説]
なにか一見センターっぽく見えない問題ですね。
(1)
内積を長さで表すって言うのをちょっと意識してみてください。
a→・b→=1/2・(|a→+b→|^2-|a→|^2-|b→|^2)
=1/2・(1-1-1)=-1/2
他には
a→・b→=1/4・(|a→+b→|^2-|a→-b→|^2)
や
a→・b→=1/2・(|a→|^2+|b→|^2-|a→-b→|^2)
とかがあります。
|2a→+b→|はベクトルでは長さは内積の二乗と定義されるから
|2a→+b→|^2=4|a→|^2+4a→・b→+|b→|^2
=4-2+1
=3
だから
|2a→+b→|=√3です。
2a→+b→とb→のなす角度をθとすると
cosθ=((2a→+b→)・b→)/|2a→+b→||b→|
って考えるのが普通ですが
(2a→+b→)・b→=-1+1=0
なので
90°です。
(2)c→をa→とb→であらわすことを考えるとまず
c→=sa→+tb→
とあらわせて
c→⊥a→より
(sa→+tb→)・a→=0
⇔
s-t/2=0…①
また
|c→|=1より
(sa→+tb→)・(sa→+tb→)=1
⇔
s^2-st+t^2=1…②
①②からtを消去して
s^2-2s^2+4s^2=1
⇔
s=±(√3)/3
で①に代入して
t=±2(√3)/3
(複合同順)
c→=±((√3)/3)(a→+2b→)
で解答欄から答えは一つのはずで
c→=((√3)/3)(a→+2b→)
の場合しか解答欄にあいません。
と言うように解答欄から答え予想をフルに生かしてください。
まあでも一応勉強なのでb→・c→＞0の条件があるから
±((√3)/3)(a→+2b→)・b→=±(√3)/2
だからプラスの方が答えです。
(3)
p→・a→=(xa→+yc→)・a→
=x
p→・b→=(xa→+yc→)・b→
=-x/2+y(√3)/2
だから
0≦x≦1
と
0≦-x/2+y(√3)/2≦1
⇔
x≦(√3)y≦x+2
です。
そして
p→・c→=p→・{((√3)/3)(a→+2b→)}
=(√3)x/3+(2√3)/3・(-x/2+y(√3)/2)
=y
だから
0≦x≦1,x≦(√3)y≦x+2
を表す領域の図を書いてyの最大となる点を調べます。
図からx=1と(√3)y=x+2の交点でyが最大になるから
(x,y)=(1,√3)のとき最大値√3をとって
p→=a→+√3c→
=2a→+2b→
です。
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