センター試験2006年度数学1Aの第1問の(1)をそれではやりましょう。
あかん、肩こってきた。
[問題]
第1問(1)
2次方程式x^2-3x-1=0の解がα,βでα,βで、α＞βとするとき、
α=((ア)+√(イウ))/2,β=((ア)-√(イウ))/2
である。また、
m＜α＜m+1を満たす整数mの値はm=(エ)
n＜β＜n+1を満たす整数nの値はn=(オカ)
である。
次に、
α+1/α=√(キク)
であり、
α^3+1/α^3=(ケコ)(サシ)
である。
[解答と解説]
2次方程式を解いて
x=(3±√13)/2
だから
α=(3+√13)/2
β=(3-√13)/2
それで3=√9＜√13＜√16=4だから、
3=(3+3)/2＜(3+√13)/2＜(4+3)/2＜4
だからm=3
-1＜(3-4)/2＜(3-√13)/2＜(3-3)/2=0
だからn=-1です。
α+1/αはなんか解と係数の関係からαβ=-1から1/α=-βだからα+1/α=α-βつかったり
α^2-3α-1=0の両辺をαで割ってα-3-1/α=0より1/α=α-3とかだからα+1/α=2α-3としたり
1/α=2/(3+√13)=2(3-√13)/{(3+√13)(3-√13)}=-(3-√13)/2と、分母分子に3-√13をかえて普通に分母有理化して計算してもいいですが、そんなこと迷う暇あったら一番最初に思いついた方法から計算した方が早いです。
α+1/α=2α-3
=√13
で、
α^3+1/α^3=(α+1/α)(α^2-1+1/α^2)
=(α+1/α){(α+1/α)^2-3}
=√13{(√13)^2-3}
=10√13
です。
これはαと1/αの対称式なので、和α+1/αと積α・(1/α)=1であらわされる、結局α+1/αだけであらわされます。
他にも
α^3+1/α^3=(α+1/α)^3-3(α+1/α)
=13√13-3√13=10√13
とかやり方あります。
こういう対称式の計算の仕方は、
大きい次数にあわせて何乗する
(α+1/α)^3
そしたら
3α+3/α
だけ余計なもんが出る。
それを引く
(α+1/α)^3-(3α+3/α)
って感じでやっていきます。
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