かなり誤認してる部分が多いご質問なので、細かく解説していきます。(じっくり読みたくないなら、最後にまとめを書いておきますので、そこを見てください)
4輪車免許(普通・準中型・中型・大型。それぞれの限定付きを含む)で運転できるのは、「一般原動機付自転車」です。
※第一種/第二種というのは、道路運送車両法での分類であり、運転免許における一般原動機付自転車は、一般原動機付自転車のみです。
道路交通法における原動機付自転車は50cc以下の2輪車であり、50〜125ccの2輪車は「普通自動二輪」に含まれます(「小型のもの」として区分される場合あり)。
そんな中で、原動機付自転車を含む二輪車の排ガス規制が強化されることに伴い、50ccでの規制クリアが困難になってきました。
そこで、警察庁や国土交通省などが協議を行い、「125cc以下かつ最高出力4kW以下の二輪車(通称:新基準原付)」を、一般原動機付自転車(道路交通法)、第一種原動機付自転車(道路運送車両法)とする法改正が行われました。
ただ、「出力4kW以下」という条件を満たす制御システムの構築など、諸々の対応が間に合っておらず、現時点で発売されている新基準原付は無い状態です。
簡単な改造で制限を解除されてしまったり、ちょっとした不具合で4kW以上出てしまったりという事が無いような制御システムの構築で、各社苦戦してると思われます。
法改正は済んでいるので、メーカーが発売すればすぐにでも、第一種原動機付自転車として登録し、原付免許(原付を運転可能な上位免許を含む)で一般原動機付自転車として運転できる段階までは来ています。
各社、現行の125cc以下の車両(の継続生産車)の一部のモデルの派生形として発売されることにはなると噂されていますが、まだ不透明な状態です。
という訳で、ご質問への簡潔な回答(まとめ)として
●四輪免許で運転できるのは、従来から一般原動機付自転車(道路運送車両法における第一種原動機付自転車)のみ→以下「原付」という
●法改正により、125cc以下かつ最高出力4kW以下の二輪車が、原付区分になる→「新基準原付」
●ただ、現時点で新基準原付の販売は無い(具体的スケジュールがでている車種も無し)
●旧来の第二種原動機付自転車(道路交通法における普通自動二輪のうち小型のもの。50cc超〜125cc)は、新基準原付ではないので、従来通り二輪免許が必要
●旧来の原付は順次生産終了されるが、中古はもちろん、在庫車は旧来通り原付として購入・使用できる
です。