関数列の収束とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/03 14:13 UTC 版)

「イプシロン-デルタ論法」の記事における「関数列の収束」の解説

区間 I 上で定義された実関数の列 f0(x), f1(x), f2(x), …, fn(x), … に対してI 上で定義される実関数 f(x) が存在し、各 x ∈ I に対して極限の式 lim n → ∞ f n ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)} が成り立つとき、関数列 {fn(x)} は f(x) に各点収束（かくてんしゅうそく）するという。 上記を ε-N 論法で定義すれば ∀ ε > 0 , ∀ x ∈ I , ∃ N ∈ N s . t . ∀ n ∈ N [ n > N ⇒ | f n ( x ) − f ( x ) | < ε ] {\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon>0,\;{}^{\forall }x\in I,\;{}^{\exists }N\in \mathrm {N} \;\mathrm {s.t.} \;{}^{\forall }n\in \mathbb {N} \;[n>N\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon ]} となる。N は ε, x に依存する。x = c などの特定の値で関数列を見たときに f0(c), f1(c), f2(c), …, fn(c), … が数列として f(c) に収束するという意味である。 条件の順序を変えた ∀ ε> 0 , ∃ N ∈ N s . t . ∀ x ∈ I , ∀ n ∈ N ;   [ n > N ⇒ | f n ( x ) − f ( x ) | < ε ] {\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon>0,\;{}^{\exists }N\in \mathbb {N} \;\mathrm {s.t.} \;{}^{\forall }x\in I,\;{}^{\forall }n\in \mathbb {N} ;\ [n>N\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon ]} が成立するとき、 関数列 {fn(x)} は f(x) に一様収束（いちようしゅうそく）するという。 この条件は各点収束と違い、N は x と無関係に ε のみに依る、言い換えると区間 I 内の全ての x に共通の N が取れる、という意味である。 例えば I = (0,1) 上で定義される fn(x) = xn は f(x) = 0 という定数関数に各点収束するが、一様収束はしない。ε を 1 より小に取れば、どのように N を大きく取っても、例えば n = N + 1 と ε1/(N+1) < x < 1 に対して |fn(x) − f(x)| = xn=xN+1> ε となってしまうためである。 I の両端点まで含めた区間 [0,1]（I の閉包）上で考えると、fn(x) = xn は 0 ≤ x < 1 では f(x) = 0 に各点収束し、x = 1 では常に fn(1) = 1 で、f(x) = 0 (0 ≤ x < 1) とは連続ではない。こういった事情が、各点収束なのに一様収束ではないという性質と繋がっている。

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「極限」の記事における「関数列の収束」の解説

I ⊂ R , f n , f : I → R {\displaystyle I\subset \mathbb {R} ,\;f_{n},f\colon I\rightarrow \mathbb {R} } とする。 {fn} が f に I 上各点収束するとは、 ∀ ε > 0 , ∀ x ∈ I , ∃ n 0 ∈ N ; ∀ n ∈ N [ n ≥ n 0 ⇒ | f n ( x ) − f ( x ) | < ε ] {\displaystyle \forall \varepsilon>0,\forall x\in I,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\forall n\in \mathbb {N} \;{\bigg [}n\geq n_{0}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon {\bigg ]}} が成り立つことである。これは、 各 x ∈ I {\displaystyle x\in I} に対して、 | f n ( x ) − f ( x ) | → 0 ( n → ∞ ) {\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\rightarrow 0\quad (n\rightarrow \infty )} と同値である。これを各点収束の定義とすることもある。 {fn} が f に I 上一様収束するとは、次が成り立つことである： ∀ ε> 0 , ∃ n 0 ∈ N ; ∀ x ∈ I , ∀ n ∈ N [ n ≥ n 0 ⇒ | f n ( x ) − f ( x ) | < ε ] {\displaystyle \forall \varepsilon>0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\forall x\in I,\forall n\in \mathbb {N} {\bigg [}n\geq n_{0}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon {\bigg ]}} これは、 ‖ f n − f ‖ ∞ := sup x ∈ I | f n ( x ) − f ( x ) | → 0 ( n → ∞ ) {\displaystyle \|f_{n}-f\|_{\infty }:=\sup _{x\in I}|f_{n}(x)-f(x)|\rightarrow 0\quad (n\rightarrow \infty )} と同値である。上で定義したノルムをスープノルム（または無限大ノルム、上限ノルム）と言う。スープノルムの収束をもって一様収束を定義することもある。 また、区間 I の任意のコンパクト集合上一様収束することを広義一様収束という。I の任意の有界閉区間上一様収束することを広義一様収束ということもある。 定義より、「fn が I 上一様収束⇒fn が I 上各点収束」が成り立つ（逆は必ずしも成り立たない）。関数の一様収束性は、lim と ∫ の順序交換や、函数項級数（英語版）の項別積分や項別微分の可能性を保証する（逆に言えば、一様収束が保証されていない段階では、勝手に lim と ∫ の順序を交換したりなどしてはいけない）。 関数の一様収束性を証明するには、上のようにスープノルムの収束を示すのが一般的である。関数項級数の一様収束性ではワイエルシュトラスのM判定法も用いられる。 「関数空間」も参照

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