閉包とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/07 04:53 UTC 版)

「マトロイド」の記事における「閉包」の解説

独立性システム ( E , F ) {\displaystyle (E,F)} の閉包 (closure) 関数 σ : 2 E → 2 E {\displaystyle \sigma \colon 2^{E}\to 2^{E}} は、 X ⊆ E {\displaystyle X\subseteq E} に対して σ ( X ) := { y ∈ E : r ( X ∪ y ) = r ( X ) } {\displaystyle \sigma (X):=\{y\in E:r(X\cup {y})=r(X)\}} で定義される。 σ ( X ) {\displaystyle \sigma (X)} を X {\displaystyle X} の閉包と呼ぶ。 マトロイド ( E , F ) {\displaystyle (E,F)} の閉包関数 σ : 2 E → 2 E {\displaystyle \sigma \colon 2^{E}\to 2^{E}} は次の性質を持つ。 (L1) 任意の X ⊆ E {\displaystyle X\subseteq E} に対して、 X ⊆ σ ( X ) {\displaystyle X\subseteq \sigma (X)} (L2) 任意の X , Y ⊆ E {\displaystyle X,Y\subseteq E} に対して、 X ⊆ Y ⇒ σ ( X ) ⊆ σ ( Y ) {\displaystyle X\subseteq Y\Rightarrow \sigma (X)\subseteq \sigma (Y)} (L3) 任意の X ⊆ E {\displaystyle X\subseteq E} に対して、 σ ( X ) = σ ( σ ( X ) ) {\displaystyle \sigma (X)=\sigma (\sigma (X))} (L4) 任意の X , Y ⊆ E {\displaystyle X,Y\subseteq E} と任意の x , y ∈ E {\displaystyle x,y\in E} に対して、 y ∉ σ ( X ) ,   y ∈ σ ( X ∪ { x } ) ⇒ x ∈ σ ( X ∪ { y } ) {\displaystyle y\not \in \sigma (X),\ y\in \sigma (X\cup \{x\})\Rightarrow x\in \sigma (X\cup \{y\})}

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