はあ、そしたら雑菌処理するつもりで行こか。
北海道大学後期の第一問の解説
[問題]
α,β,γをα+β+γ=0をみたす複素数とする。
z=α^2+β^2+γ^2とおく。
(1)αβ+βγ+γαをzで表せ。
(2)α^4+β^4+γ^4をzで表せ。
[解答と解説]
(1)
αβ+βγ+γαと言えば、(α+β+γ)^2を展開したら出てくるから
(α+β+γ)^2=α^2+β^2+γ^2+2(αβ+βγ+γα)
でα+β+γ=0、α^2+β^2+γ^2=zやから
0=z+2(αβ+βγ+γα)
⇔
αβ+βγ+γα=-z/2
(2)
これはちょっと工夫が必要やな。
α^4+β^4+γ^4の項をだすには(α+β+γ)^4を考えても出来ないこともないかもしれんけど、4乗を展開するのは大変やから
(α^2+β^2+γ^2)^2
を考えてみるねん。
そしたら
(α^2+β^2+γ^2)^2=α^4+β^4+γ^4+2(α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2)
これでもα^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2をどうするかやな。
(1)を使うんやろうから、(αβ+βγ+γα)^2を考えたら良さそうな感じもするな。
だから
(αβ+βγ+γα)^2=α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2+2(αβ^2γ+αβγ^2+α^2βγ)
⇔
(αβ+βγ+γα)^2=α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2+2αβγ(α+β+γ)
これで上手いことαβγ(α+β+γ)=0やから
α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2=-(z^2)/4
これで
(α^2+β^2+γ^2)^2=α^4+β^4+γ^4+2(α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2)
⇔
z^2=α^4+β^4+γ^4+2(z^2)/4
⇔
α^4+β^4+γ^4=(z^2)/2
はい、だいぶん対称式に扱いになれてきましたね。
またなんか一人で言うてるなこれ。
高校数学の入試問題などの解説
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