うんこする前に解説しとこか。
京都大学2006年度前期の理系第3問文系第4問の文理共通問題の解説です
[問題]
関数y=f(x)のグラフは、座標平面で原点に関して点対称である。さらにこのグラフのx≦0の部分は、軸がy軸に平行で、点(-1/2,1/4)を頂点とし、原点を通る放物線と一致している。このときx=-1におけるこの関数の接線とこの関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。
[解答と解説]
全然難しくはないですが、一つ言うなら原点対称がちょっと珍しいぐらいやと思う。
後はもう積分の問題によくあるパターンやな。
関数はx≦0の部分は、軸がy軸に平行で、点(-1/2,1/4)を頂点とし、原点を通る放物線と一致していると言うことで
軸がy軸に平行で、点(-1/2,1/4)を頂点とする放物線から
f(x)=a(x+1/2)^2+1/4(a≠0)
とおけます。これが原点を通から
0=a/4+1/4⇔a=-1
ってaの値が求まります。
これでx≦0の部分は
f(x)=-(x+1/2)^2+1/4
=-x^2-x
って求まりました。
x≧0の部分はこれを原点について対称移動したグラフなわけやから
xを-xへ、yを-yへ置き換えたらよくて
f(x)=(-(-x)^2-(-x))
=x^2-x
と求まります。
x=-1における接線を求めなあかんから、x≦0の部分を微分して
f'(x)=-2x-1
やからx=-1における接線は
y=f'(-1)(x+1)+f(0)
=x+1
積分するためにf(x)のx≧0の部分との交点を求めておいて
x+1=x^2-x
⇔
x^2-2x-1=0
x≧0からx=1+√2
グラフを書いて後は積分をするだけや。
∫(-1,0)(x+1-f(x))dx+∫(0,1+√2)(x+1-f(x))dx
=∫(-1,0)(x+1)^2dx+∫(0,1+√2)(-x^2+2x+1)dx
で、なんやかんやで
2+(4√2)/3
になります。
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