今、アサガオに水をやってたら、ツタが手に絡み付いてきて…の気分や。
ええからはよ解説しろ！
大阪大学2009年度文系の第2問の解説。
[問題]
平面上の3角形OABを考え
a→=OA→,b→=OB→,t=|a→|/2|b→|
とおく。辺OAを1:2に内分する点をCとし、OD→=tb→となる点をDとする。AD→とOB→が直交し、BC→とOA→が直交するとき、次の問いに答えよ。
(1)∠AOBを求めよ。
(2)tの値を求めよ。
(3)ADとBCの交点をPとするとき、OP→をa→,b→を用いて表せ。
[解答と解説]
(1)
まさにベクトルの定石中の定石的な問題で、しっかりベクトルの解法を一通りマスターしていれば確実に点になります。
まず条件をひとつひとつ式にあらわしていきます。
辺OAを1:2に内分する点をCよりOC=1/3・a→
AD→とOB→が直交よりAD→・OB→=0で始点をOに揃えていって
(OD→-OA→)・OB→=0
⇔
(tb→-a→)・b→=0
⇔
|a→||b→|/2=a→・b→…①
BC→とOA→が直交よりBC→・OA→=0で始点をOに揃えていって
(OC→-OB→)・OA→=0
⇔
(1/3・a→-b→)・a→=0
⇔
|a|^2/3=a→・b→…②
って機械的に式にしていくねん。
これでa→・b→=|a→||b→|cos∠AOBだから①より
|a→||b→|cos∠AOB=|a→||b→|/2
⇔
cos∠AOB=1/2
より∠AOB=π/3
(2)①,②より
|a→||b→|/2=|a|^2/3
⇔
|b→|=2|a→|/3
でt=|a→|/2|b→|=3/4
よし、ここまでええみたいやな。
(3)
これこそ、あれやな。
テフロン加工みたいなもんやな。
どういう意味やねん。
もうこんなん身体で覚えとくんがコツなわけや。
点PはBC上よりαを実数として
OP→=αOB→+(1-α)OC→
=αb→+(1-α)/3・a→…③
点PはAD上よりβを実数として
OP→=βOA→+(1-β)OD→
=βa→+3(1-β)/4・b→…④
と二通りにあらわして、a→とb→は一次独立だからとかお決まりの言葉を書いてa→とb→の係数を比較して
a→の係数
α=3(1-β)/4
b→の係数
(1-α)/3=β
これを解いて
α=2/3
β=1/9
でこれをどっちでもいいから代入して
OP→=1/9・a→+2/3・b→
これはぜひやり方自体を暗記して、何も考えずに解けるようになったってください。
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