ちょっとセネガルに行ってきますわ。
東京大学2007年度前期数学の第3問の領域の問題を解説します。
[問題]
座標平面状の2点P,Qが曲線y=x^2(-1≦x≦1)上を自由に動くとき、線分PQを1:2に内分する点Rが動く範囲をDとする。ただし、P=QのときはR=Pとする。
(1)aを-1≦a≦1をみたす実数とするとき、点(a,b)がDに属するためのbの条件をaを用いて表せ。
(2)Dを図示せよ。
[解答と解説]
恐らくは、P,Qを座標を置くんやろな。
P(p,p^2),Q(q,q^2)とおけて
-1≦p≦1、-1≦q≦1
なわけやな。
点(a,b)がDに属するための条件やから、単にR(a,b)の軌跡を求めろってことです。
なんか微妙にわかりにくく書いてるなこれ。
それで点Rが線分PQを1:2に内分するから
a=(2p+q)/3
b=(2p^2+q^2)/3
だから整理すると
-1≦p≦1
-1≦q≦1
a=(2p+q)/3
b=(2p^2+q^2)/3
の4式を満たすようなp,qが存在するような(a,b)を求めたらええわけやな。
逆像法ってやつですわ。
逆手流とも言うやつですわ。
まあ使いやすい定石やねんけど、同値変形の処理方法を使ってa=(2p+q)/3からq=3a-2pやからこれを代入していってpの式として整理すると4式は
q=3a-2p
-1≦p≦1
(3a-1)/2≦p≦(3a+1)/2
2p^2-4ap+3a^2-b=0
になるわけやな。
だから
-1≦p≦1
(3a-1)/2≦p≦(3a+1)/2
2p^2-4ap+3a^2-b=0
を満たすpが存在したら、pが決まればq=3a-2pからqは決まるから
-1≦p≦1
(3a-1)/2≦p≦(3a+1)/2
2p^2-4ap+3a^2-b=0
を満たすようなpが存在するような(a,b)を求めたらええことになります。
うんうん、ここまで余裕やな。
ここまでは余裕や。
f(p)=2p^2-4ap+3a^2-b
とおくと
f(p)=2(p-a)^2+a^2-b
だからt=f(p)は軸p=aの二次関数でf(p)=0が解を持つには
a^2-b≦0⇔b≧a^2
だからb≧a^2が必要条件なわけで、以降はb≧a^2で考えて
-1≦p≦1でf(p)=0が解を持つ
かつ
(3a-1)/2≦p≦(3a+1)/2でf(p)=0が解を持つ
って言う条件を求めたらいいことになります。
が、やってみると血吐いて倒れて
おかん「かずゆき、ご飯食べるか？」
って起こされることになりました。
どうもそのやり方では、おかんに邪魔されるから
「-1≦p≦1と(3a-1)/2≦p≦(3a+1)/2の共通範囲を調べる。
その共通範囲でf(p)=0が解を持つ条件を調べる」
こうやったら、やってみると出血量も少なく倒れて
おかん「かずゆき、ごはん食べないかい？」
って優しく起こされることになりました。
どっちにしろ血は吐きます。
なんでこんな人の気持ちを傷つける問題を出すんやろな。
-1≦p≦1と(3a-1)/2≦p≦(3a+1)/2の共通範囲を調べると言ってもややこしいです。
少しでも処理しやすいように、(a,p)の図を書いてみてpの共通の範囲をaで表します。
すると図から
-1≦a≦-1/3では-1≦p≦(3a+1)/2
-1/3≦a≦1/3では(3a-1)/2≦p≦(3a+1)/2
1/3≦a≦1では(3a-1)/2≦p≦1
とわかります。
それで、t=f(p)の軸p=aがその共通範囲に入るかどうか考えなければなりませんが、この(a,p)にp=aを書き込むと見事に斜線部に入ります。
だから、どの共通範囲でも軸はその範囲に入っいます。
そして解を持つように
b≧a^2
で考えてるから、共通範囲にある頂点で0以下の値をt=f(p)はとって、端点で最大値をとるからその最大値が0以上であれば解を持つことになります。
これでかなり整理されてきました。
(i)-1≦a≦-1/3の時、共通範囲は-1≦p≦(3a+1)/2
二次の係数が正な二次関数の最大値は軸からの距離が遠いほうの端点で最大となったから普段なら数学極めてる奴は
max(f(-1),f((3a+1)/2))
とかでもええと思うねんけど、この問題の場合ではややこしなると思うねん。
だからちゃんと共通範囲の中点(-1+(3a+1)/2)/2と軸p=aの大小関係を調べて
(-1+(3a+1)/2)/2-a=-(a+1)/4≦0
つまり
中点≦軸
だから軸は中点より右側だから左の端点のp=-1で最大となるから
f(-1)≧0
であればよいわけや。
これを計算して整理すると
b≦3a^2+4a+2
(ii)-1/3≦a≦1/3の時は共通範囲は(3a-1)/2≦p≦(3a+1)/2やけど
中点と軸の位置関係は
((3a-1)/2+(3a+1)/2)/2-a=a/2
やからaが0以上と0以下で場合わけせなあかんことになります。
だからほんまは、
(ii)-1/3≦a≦0
(iii)0≦a≦1/3
って場合わけして書くべきなんかもしれんけど、数学の解答は行き当たりばったりの中どうわかり易く書くかって言うのもあるからこの
(ii)-1/3≦a≦1/3の時の中で
a≦0の時って場合わけをさせてください。
何でもするからお願いします。
この時は
中点≦軸
だからp=(3a-1)/2で最大になって
f((3a-1)/2)≧0
⇔
b≦3/2・a^2-a+1/2
って涼しげに書いてますが、こんなp=(3a-1)/2とか代入するややこしいことさせるんか！って思いながら計算してましたよもちろん。
a≧0の時、
軸≦中点
だからp=(3a+1)/2で最大になって
f((3a+1)/2)≧0
⇔
b≦3/2・a^2+a+1/2
これはa≦0の場合とbの軸で対称になってるから計算はわかりやすいと思います。
(iii)1/3≦a≦1の時、共通範囲は(3a-1)/2≦p≦1で
((3a-1)/2+1)/2-a=(-a+1)/4≧0より
軸≦中点
でp=1で最大になるから、
f(1)≧0
⇔
b≦3a^2-4a+2
以上b≧a^2と(i)～(iii)をまめて
b≧a^2
b≦3a^2+4a+2(-1≦a≦-1/3)
b≦3/2・a^2-a+1/2(-1/3≦a≦0)
b≦3/2・a^2+a+1/2(0≦a≦1/3)
b≦3a^2-4a+2(1/3≦a≦1)
これはキツイな。
(2)
(1)が出来たらすぐに出来ます。
グラフを描くだけですね。
まあ若干ややこしいけど、(1)が完璧なら大丈夫だと思います。
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