(1) いま、CP、CQ、AQ、AR、BR、BPはいずれも内接円Iに対する接線になります。 （下図を参考にしてください） すると、円外の点から引いた接線の長さは等しくなることから、 CP=CQかつAQ=ARかつBR=BP が成り立ちます。 ここで、CP=CQ=x、AQ=AR=y、BR=BP=zとすると、 CA=CQ+AQ=x+y=9 AB=AR+BR=y+z=10 BC=BP+CP=z+x=17 という3つの関係式が得られます。 これらからx,y,zを求めると、x=8、y=1、z=9となります。 従って、PC=8、QA=1、RB=9となります。 (2) 三角形の内心は、三角形の内角の二等分線の交点なので、C/2=∠ICPとなります。 いま、線分IPとPCは垂直に交わるので、直角三角形CIPについて考えると、 tan(C/2)=tan∠ICP=IP/PC…☆ となることが分かります。 既に(1)でPC=8と分かっているので、後はIPを求めればよいことになります。 ここで、IPは内接円の半径になっています。 すると、三角形ABCの面積をSとし、この内接円の半径をrとすると、 S=(1/2)×r×(AB+BC+CA)…★ という関係が得られます。 三角形ABCについて余弦定理を用いると、 cosC=(CA²+BC²-AB²)/(2×CA×BC)=(9²+17²-10²)/(2×9×17)=15/17 と求められます。 いま、sinC>0であることから、sin²C+cos²C=1であることを用いると、 sinC=√(1-cos²C)=√{1-(15/17)²}=√(64/17²)=8/17 とできるので、三角形ABCの面積は S=(1/2)×CA×BC×sinC=(1/2)×9×17×(8/17)=36 となります。 ★の式にS,AB,BC,CAを代入すると、 36=(1/2)×r×(10+17+9) 36=18r となるので、r=2と分かります。 従って、IP=r=2となることから、☆より tan(C/2)=2/8=1/4 と求められます。