マンションの管理会社の不手際でテレビが映らなくなってますが損害賠償取れますか？

分譲か賃貸かわかりませんが、どちらにしても管理会社は関係ないですね。分譲なら、管理組合、賃貸なら、オーナーに責任あります。管理会社の人が、アンテナやケーブルの工事できるわけもありませんので、あなたの勘違いです。訴えるとこ間違ってます。

発生した損害の内容によります。 テレビが見たかったというレベルの話だと賠償を請求するような損害にはなりません。

取れないでしょうね。