余弦定理の証明(éˆè§’ã«å¯¾å‘ã™ã‚‹è¾ºã®å ´åˆ)

概要

任意のにおいて、角に対向する辺の長さをを用いて表し、以下に表される余弦定理を証明する。

 

\begin{eqnarray}
c^2=a^2+b^2-2ab \cos C
\end{eqnarray}

 

導出

が鋭角の場合を前回やったので、今回は図のように、鈍角の場合を考える。 

 

点から辺に垂線を引き、補助線としたいが、鋭角の時と異なり辺とは交わらない。そこで下図のように辺を延長し、補助線同士の交点をとする。

と辺を用いて、上図のようにとがわかる。また、なのでと表せる。

 

とのが邪魔なので消去したい。下に角度との関係を図示する。

 

これらの図を比較することで、、であることが分かる。

 

はを斜辺とする直角三角形であるので、三平方の定理より以下の関係が成り立つ。

\begin{eqnarray}
c^2&=&[b \sin (\pi-C)]^2 +[a+b\cos (\pi-C)]^2\\
\end{eqnarray}

 

を除去し、右辺を整理する。

\begin{eqnarray}
c^2&=&(b \sin C)^2 +(a-b\cos C)^2\\
&=& b^2 \sin^2 C+a^2-2ab \cos C +b^2 \cos ^2 C\\
&=&a^2+b^2(\sin ^2 C+ \cos ^2 C)-2ab \cos C\\
&=&a^2+b^2-2ab \cos C\\
\end{eqnarray}

 

が鈍角の場合にも余弦定理が導かれた。

 

また、が垂直の時、余弦定理は三平方の定理と等しいので証明済みである。そのため、任意ので余弦定理が成り立つことが導かれた。