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　さて、関係を数式で表すところから、数学を思考の道具にすることは始まる。

　そうすることのメリットのひとつは、思考の経済性（頭が楽できるところ）である。

　 　頭にかなり負担をかける（多くの要素を含んだ複雑な）推論も、問題を数式によって表現できれば、半ば機械的に規則を適用することで、かなりのところまで代替することができる。

　これは込み入った議論や推論を行うときに、そして議論や推論の過程を残して，他人による検証を受けるときに威力を発揮する。

　自分が楽できるというより（発案者は別のところでちゃんと苦労する）、自分が行った推論を、ちゃんとできているかどうか確かめようとする他人が楽できるところが重要である。

　でないと他の人は見てくれないし、せっかくやったことが同時代人に、そして未来に伝わっていかない。

数値例からはじめてみるか

　話を簡単にするために、世の中に商品が１種類しかない、と仮定しよう。

１種類は少なすぎる、せめて２種類にしろ

２種類は少なすぎる、もっと多くしろ（→後述）

などなどいろいろ反論はあるだろうが（貴方の批判精神に幸いあれ！）、ここは一つ飲んでもらいたい。

　米を１kgつくるのに、米０．１ｋｇ　と　１０時間の労働が必要だとしよう。

米１ｋｇ　←　米０．１ｋｇ　と　１０時間の労働 　

　勘どころは、米を作るのにも、また米が必要なところである。

　今、米を１ｋｇつくるには、10時間の労働が必要だといった。直接的には確かに10時間である。
　しかし、加えて米０．１ｋｇが必要なのである。だから米０．１ｋｇをつくるのに必要な、０．１×１０時間＝1時間の労働もまた、間接的に必要なのであ る。
　しかし米０．１ｋｇをつくるにも、０．１×０．１＝０．０１ｋｇの米が必要で、だから米０．０１ｋｇをつくるのに必要な、０．０１×１０時間＝０．1時 間の労働もまた、間接的に必要なのである。
　しかし・・・（以下繰り返し）

　これでは切りがない（実はきりをつけることができるが、それは，少しだけややこしいので，後回しす る）。

いわゆる方程式ってやつ

　ここから以後は、めちゃくちゃ簡単な代数（文字式）をつかって考えてみる。このきりなさそうな，言葉でいうとややこしい話を，シンプルに考えられるのが，数学のよいところである。

　米を１ｋｇをつくるのに直接間接を問わず，全部あわせて必要な労働量を〈覚えやすく、あとで便利なように〉ｔと書くことにする。
　労働量は時間で計られるので、Ｔｉｍｅの頭文字ｔを使うことにした。

文字を使った式のお約束： １　かけ算（×）は省略する　　　　　　　　　例）a×b＝ａｂ 数字で数をあらわすと、１２３とか４５とか数字を並べなければならない。 なので、かけ算を省略すると、１×２が、１２になってしまってややこしい。 しかし文字で数を表すと、どんな数も一文字で表せるので、かけ算を省略しても大丈夫。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ ２　わり算（÷）は省略して分数の形　　　　　例）ａ÷b ＝ ----- 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｂ 数行にわたるのがめんどくさいので、このページでは分数をａ／ｂと書くことがある。 ３　数字は文字の前にかく　　　　　　　　　　例）ａ×３＝３ａ ４　文字の前の１は省略する　　　　　　　　　例）ａ×１＝ａ ５　同じ文字のかけ算は指数（乗）で表す　　　例）ａ×ａ×ａ＝ａ３ ６　かけ算の文字はアルファベット順　　　　　例）ｂ×ｃ×ａ＝ａｂｃ 　ならべる順番を決めておくと整理しやすい。 ７　たし算、ひき算は省略しない　　　　　　　例）ａ＋ｂ＝ａ＋ｂ（そのまま） 例題：具体的な数の代わりに、 文字を使った式で表してみる １個ａ円の品物を１０個買ったときの代金　……１０ａ（円） 100円でａ個買える品 物ｂ個の代金　……　１００b／ａ（円） 定価ａ円の２割の値段　　　　　　  ……　０． ２ａ（円） 定価ａ円の２割引の値段　　　　　  ……　０． 8ａ（円） 定価a円の品物を２割引で買い、 500円だしたときのおつり ……　５００－０．８ａ（円）

　米を１ｋｇをつくるのに必要な労働量は、直接必要な10時間という労働量と、０．１ｋｇの米を作るのに必要な労働量を足したものである。

１ｋｇをつくるのに直接間接を問わず，全部あわせて必要な労働量をｔとしたのだから、０．１ｋｇの米を作るのに必要な労働量は、 ０．１ ｔ と書ける。

だから米を１ｋｇをつくるのに直接間接を問わず，全部あわせて必要な労働量をｔは、１０と０．１ｔの合計と 等しい。これを数式で書くと

ｔ＝１０＋０．１ｔ

である。

ここからｔを求めると（最初なので，馬鹿らしいかもしれないが、くそ丁寧に解いてみる）、

 　　ｔ＝１０＋０．１ｔ
　　ｔ－０．１ｔ＝１０＋０．１ｔ－０．１ｔ 　（両辺から０．１ｔを引いている）
　  ０．９ｔ＝１０
０．９ｔ／０．９＝１０／０． ９　　　　　　　（両辺を０．９ｔで割っている）
　　　　　　　ｔ＝１０／０．９

　　　　ゆえにｔ＝１０÷０．９＝１１．１１１１・・・


まあ、だいたい１１．１時間ほどが、米を１ｋｇをつくるのに直接間接全部あわせて必要な労働量である。

例題：方程式の解き方（一次方程式） 方程式 ｘ＋５＝８のとき、 ｘを求めよ 　ｘ＋５＝８とあるから、ｘ＋５と８は同じ数である 　ｘ＋５から５を引くと、ｘ＋５－５＝ｘになる 　８から５を引くと、８－５＝３になる 　要するに同じ数（ｘ＋５、８）から同じ数（５）を引いても、やっぱり同じ数だろう。 　 つまり ｘ＋５　　＝８ ｘ＋５－５＝８－５ ｘ　　　　＝３ 文字で数字を表してみる。 この場合も解き方は同じである。 ｘ＋ａ＝ｂのとき、 ｘ＝ｂ－ａ 理由は ｘ＋ａ　　＝ｂ ｘ＋ａ－ａ＝ｂ－ａ ｘ　　　　＝ｂ－ａ 方程式 ４ｘ＝６のとき、 ｘを求めよ 　４ｘ＝６とあるから、４ｘと６は同じ数である 　４ｘを４で割ると、４ｘ÷４＝ｘになる 　６を４で割ると、６÷４＝１．５になる 　同じ数（４ｘ、６）を同じ数（４）で割っても、やっぱり同じ数だろう。 つまり ４ｘ　　＝６ ４ｘ÷４＝６÷４ ｘ　　　＝１．５ 文字で数字を表してみる。 この場合も解き方は同じである。 ａｘ＝ｂのとき、 ｘ＝ｂ／ａ 理由は ａｘ　　＝ｂ ａｘ÷ａ＝ｂ÷ａ ｘ　　　＝ｂ／ａ

必要な労働時間を考える

　ところで、 米１ｋｇに直接10時間必要だとかいう数字は、詳しいことは知らないままにあてずっぽしたので、実はまったくのデタラメな数字である。
　詳しい数字は後から調べることにして、ａだとかτだとかと、これも文字にしておくと話を進めるのにも、また必要な労働時間が変わった場合を考えるのに も、便利である。

ａはあんまり考えなかったが、直接必要な労働量はさっき使ったｔと似ていてしかも違うものとして、ギリシア文字のτ（タウ）を使うことにした。これはアル ファベットのｔに対応するギリシア文字である。  

米１ｋｇ　←　米ａｋｇ　と　τ時間の労働

　 米１ｋｇをつくるのにａｋｇの米とτ時間の労働が必要、ということである。
　
　あたりまえのことだが、大切なことに注意を払っておこう。
　たとえば米１ｋｇをつくるのに１０ｋｇの米が必要だとしたら悲惨なことになる。つくればつくるほど、米が減っていくのである。
　こうしたことがないためには、すくなくともａについては１より小さくなっていてほしい（さっきの数値例でも０．１だった）。でないと縮小再生産になって しまう。
　また、もっとあたりまえのことだが、ａはマイナスであってはおかしい。マイナス１kgの米から、１kgの米をつくるなんて訳が分からない。
　なので、結局、

０＜ａ＜１

であることが必要である。数字を文字で表したときは、こういう当たり前のこともきっちり書き出しておくことが大切なのである。


　さて、米１ｋｇをつくるのに、直接間接合わせてどれだけの時間の労働が、計算しておこう。
　米１ｋｇをつくるのに直接間接全部あわせて必要な労働量を ｔ とすると、

ｔ＝ａｔ＋τ

という式ができる。

この式をさっきと同じように変形すると

　　　　　　　　　　　ｔ＝ａｔ＋τ
　　　　　　　　ｔ－ａｔ＝ａｔ＋τ－ａｔ 　（両辺から０．１ｔを 引いている）
　　　　　　（１－ａ）ｔ＝τ
（１－ａ） ｔ／（１－ａ）＝τ ／（１－ａ）　（両辺 からを１－ａで割っている。１－ａ≠０なのでできる）

　　　　　 　　 τ
　　　∴　ｔ＝-------
　　　　　　　１－ａ

解けました。

これは、米を１ｋｇをつくるのに直接間接全部あわせて必要な労働量である。これを「投下労働価値 labor embodies value 」という。

無限を取り扱う方法

さっき（以下繰り返し）となった話にケリをつける。
米を１ｋｇつくるには、直接にはτ時間の労働が必要で、しかし、加えて米ａｋｇが必要だから米ａｋｇをつくるのに必要な労働量ａ×τ時間もまた、間接的に 必要なのだった。しかし米ａｋｇをつ くるにも、ａ×ａ＝ａ²ｋｇの米が必要で、だから・・・（以下繰り返し）になるのだった。

数値例では、間接的に必要な労働量は１＋０．１＋０．０１＋０．００１＋・・・・といった具合に（以下繰り返し）になっていた。それぞれを見ると、間接労 働量はそれぞれ前の１／１０になっている。これは０．１を掛けていたのだから当然である。
実は１＋０．１＋０．０１＋０．００１＋・・・・が無限に続くとすると、この足し算の合計は１０／９と等しいのである。
１０／９＝１＋０．１＋０．０１＋０．００１＋・・・・
文字式でいうと
１＋ ａ +ａ²+ａ³+ａ⁴・・・・は、１／（１－ａ）と等しいのである （１０／９も、１／（１－０．１）だったのである）

１／（１－ａ）＝ １＋ ａ +ａ²+ａ³+ａ⁴・・・・

（ただし０＞ａ＞１）

これは公式になってるくらいの話なので、お受験用には「丸暗記」すればいいのだが、ちょっとだけ「なんでそういえるか」をやっておく。

分からないものは文字で表す、というのが代数の基本である。いま分からないのは、ａ +ａ²+ａ³+ ａ⁴・・・という無限につづくやつなので、

　　Ｓ＝ １＋ ａ +ａ²+ａ³+ａ⁴・・・・

としてしまおう。
せっかく文字で表しても、そのままだと、どうしようもないので、
ここはひとつＳにａを掛けてやる。すると

ａ×Ｓ＝ 　　 ａ +ａ²+ａ³+ａ⁴ +ａ⁵ ・・・・

なんだか上のＳと比べて、ひとつずらした感じがする。

　　Ｓ＝ １＋ ａ +ａ²+ａ³+ａ⁴・・・・

ａ×Ｓ＝ 　　 ａ +ａ²+ａ³+ａ⁴ +ａ⁵ ・・・・

なのでＳからａＳを引いて見ると，同じのは消えてしまって

　　Ｓ－ａＳ＝１

Ｓ（１－ａ）＝１

０＞ａ＞１だから、１－ａ＞０である。１－ａ＝０でないので、両辺を１－ａで割ってかまわない。

Ｓ（１－ａ）／（１－ａ）＝１ ／（１－ａ）

（１－ａ）／（１－ａ）＝１であるから、

Ｓ＝１／（１－ａ）

結論は

１／（１－ａ）＝１＋ ａ +ａ²+ａ³+ ａ⁴・・・・

なのである。

扱いずらい無限に続く式を、やはり無限に続く式ををつかって（引き算して）消し去るのがキモであった。
この無限に続くものが有限におさまる、というのは、先に見たようにマルクスら古典派の投下労働価値の定式化に、それ以外にもケインズらの乗数理論や、ベー ム・バベルクの平均生産期間の定式化などにも用いられる。

いよいよ搾取の存在を証明する

　すこし寄り道したが、ここでいきなり「マルクスの基本定理（Fundamental Marxian Theorem）」を（中学生の範囲の数学で）証明してみよう。
　これは、正の利潤と労働の搾取との同値性を、つまり「利潤もうけがプラスであるならば、労働が搾取されている。労働が搾取されているならば、利潤もうけ がプラスである」ことを、数学的に示した定理である。

　利潤もうけを考えるためには、商品をつくるのにいくらかかり、それをいくらで売るのか、それぞれの値段を考える必要がある。
　なので、米１単位あたりの価格をｐ、それから１時間あたりの賃金（労働の価格）をwと表すことにして、話を進めよう。

　米１単位をつくるのにいくらかかるかと言えば、さっき見たように、

米１単位 　←　米ａｋｇ　と　τ時間の労働

米１単位をつくるのに 、米ａｋｇ　と　τ時間の労働が必要だった。

米１単位あたりの価格をｐ、１時間あたりの賃金（労働の価格）をwだから、米１単位をつくるのに必要な 米と労働の値段は合計でａｐ＋τwだということがわかった。
　さて、利潤もうけが出るためには、つくるのにかかった値段よりも、売る値段の方が高くなければならない。これを数式でかくと（売る値段）＞（かかる値 段）だから、

ｐ＞ａｐ＋τｗ　……式（１）

という式がなりたたなくてはならない。

また

０＜ａ＜１　　　……式（２）

であることも縮小再生産になったりしないためには必要であった。

　さらに米１ｋｇをつくるのに、直接間接合わせてどれだけの時間の労働が必要かも計算した。米１ｋｇをつくるのに直接間接全部あわせて必要な労働量を ｔ とすると、

ｔ＝ａｔ＋τ　　……式（３）

だった。

この３つでこれでマルクスの基本定理を証明する材料はそろった。

式（１）