Processo regenerativo

Em probabilidade aplicada, um processo regenerativo é uma classe de processos estocásticos com a propriedade de que certas porções do processo podem ser tratadas como estatisticamente independentes umas das outras.^[2] Esta propriedade pode ser usada na derivação de propriedades teóricas de tais processos.

Histórico

Processos regenerativos foram definidos pela primeira vez pelo matemático britânico radicado nos Estados Unidos Walter L. Smith na Proceedings of the Royal Society A em 1955.^[3]^[4]

Definição

Um processo regenerativo é um processo estocástico com pontos de tempo nos quais, a partir de um ponto de vista probabilístico, o processo se reinicia.^[5] Estes pontos de tempo podem ser eles próprios determinados pela evolução do processo. Isto equivale a dizer que o processo $\{X(t),t\geq 0\}$ é um processo regenerativo se existirem pontos de tempo $0\leq T_{0}<T_{1}<T_{2}<...$ , tal que o processo pós- $T_{k}$ $\{X(T_{k}+t):t\geq 0\}$ :

tem a mesma distribuição do processo pós- $T_{0}$ $\{X(T_{0}+t):t\geq 0\}$ ;
é independente do processo pré- $T_{k}$ $\{X(t):0\leq t<T_{k}\}$ .

para $k\geq 1$ .^[6] Intuitivamente, isto significa que um processo regenerativo pode ser dividido em ciclos independentes e identicamente distribuídos.^[7]

Quando $T_{0}=0$ , $X(t)$ é chamado de processo regenerativo não atrasado. De outro modo, o processo é chamado de processo regenerativo atrasado.^[6]

Exemplos

Processos de renovação são processos regenerativos, sendo $T_{1}$ a primeira renovação.^[5]
Processos de renovação alternantes, em que um sistema alterna entre um estado "ativo" e um estado "inativo", são processos regenerativos.^[5]
Uma cadeia de Markov recorrente é um processo regenerativo, sendo $T_{1}$ o tempo da primeira recorrência.^[5] Isto inclui as cadeias de Harris.
O movimento browniano refletido, em que se mede o tempo que as partículas levam para partir e voltar, é um processo regenerativo.^[7]

Propriedades

Pelo teorema da renovação com recompensa, com probabilidade 1,
$\lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}X(s)ds={\frac {\mathbb {E} [R]}{\mathbb {E} [\tau ]}},$

em que

\tau

é o comprimento do primeiro ciclo e

R=\int _{0}^{\tau }X(s)ds

é o valor sobre o primeiro ciclo.^[8]

Uma função mensurável de um processo regenerativo é um processo regenerativo com o mesmo tempo de regeneração.^[8]

Referências

↑ Hurter, Arthur P.; Kaminsky, Frank C. (1 de junho de 1967). «An Application of Regenerative Stochastic Processes to a Problem in Inventory Control». Operations Research (em inglês). 15 (3): 467–472. doi:10.1287/opre.15.3.467. Consultado em 21 de fevereiro de 2018
↑ Ross, Sheldon M. (2010). «Renewal Theory and Its Applications». Introduction to Probability Models. [S.l.: s.n.] pp. 421–641. ISBN 9780123756862. doi:10.1016/B978-0-12-375686-2.00003-0 |acessodata= requer |url= (ajuda)
↑ Schellhaas, Helmut (1 de fevereiro de 1979). «Semi-Regenerative Processes with Unbounded Rewards». Mathematics of Operations Research (em inglês). 4 (1): 70–78. doi:10.1287/moor.4.1.70. Consultado em 21 de fevereiro de 2018
↑ Smith, Walter L. (11 de outubro de 1955). «Regenerative stochastic processes». Proceedings of the Royal Society A (em inglês). 232 (1188): 6–31. ISSN 0080-4630. doi:10.1098/rspa.1955.0198. Consultado em 21 de fevereiro de 2018
↑ ^a ^b ^c ^d Ross, Sheldon M. (2007). Introduction to probability models 9 ed. Amsterdam: Academic Press. ISBN 0125980620. OCLC 123417622. Consultado em 23 de fevereiro de 2018
↑ ^a ^b Haas, Peter Jay (2002). Stochastic Petri nets: modelling, stability, simulation. New York: Springer. ISBN 0387954457. OCLC 56109535. Consultado em 23 de fevereiro de 2018
↑ ^a ^b Asmussen, Søren (2003). Applied probability and queues 2nd ed. New York: Springer. ISBN 9780387002118. OCLC 51060198. Consultado em 23 de fevereiro de 2018
↑ ^a ^b Sigman, K.; Wolff, R. (1 de junho de 1993). «A Review of Regenerative Processes». SIAM Review. 35 (2): 269–288. ISSN 0036-1445. doi:10.1137/1035046. Consultado em 23 de fevereiro de 2018

[1] Hurter, Arthur P.; Kaminsky, Frank C. (1 de junho de 1967). «An Application of Regenerative Stochastic Processes to a Problem in Inventory Control». Operations Research (em inglês). 15 (3): 467–472. doi:10.1287/opre.15.3.467. Consultado em 21 de fevereiro de 2018

[2] Ross, Sheldon M. (2010). «Renewal Theory and Its Applications». Introduction to Probability Models. [S.l.: s.n.] pp. 421–641. ISBN 9780123756862. doi:10.1016/B978-0-12-375686-2.00003-0 |acessodata= requer |url= (ajuda)

[3] Schellhaas, Helmut (1 de fevereiro de 1979). «Semi-Regenerative Processes with Unbounded Rewards». Mathematics of Operations Research (em inglês). 4 (1): 70–78. doi:10.1287/moor.4.1.70. Consultado em 21 de fevereiro de 2018

[4] Smith, Walter L. (11 de outubro de 1955). «Regenerative stochastic processes». Proceedings of the Royal Society A (em inglês). 232 (1188): 6–31. ISSN 0080-4630. doi:10.1098/rspa.1955.0198. Consultado em 21 de fevereiro de 2018

[:0-5] Ross, Sheldon M. (2007). Introduction to probability models 9 ed. Amsterdam: Academic Press. ISBN 0125980620. OCLC 123417622. Consultado em 23 de fevereiro de 2018

[:1-6] Haas, Peter Jay (2002). Stochastic Petri nets: modelling, stability, simulation. New York: Springer. ISBN 0387954457. OCLC 56109535. Consultado em 23 de fevereiro de 2018

[:2-7] Asmussen, Søren (2003). Applied probability and queues 2nd ed. New York: Springer. ISBN 9780387002118. OCLC 51060198. Consultado em 23 de fevereiro de 2018

[:3-8] Sigman, K.; Wolff, R. (1 de junho de 1993). «A Review of Regenerative Processes». SIAM Review. 35 (2): 269–288. ISSN 0036-1445. doi:10.1137/1035046. Consultado em 23 de fevereiro de 2018

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v d e Processos estocásticos
Tempo discreto	Cadeias de Markov Passeio aleatório Autoevitante Processo de Bernoulli Processo de Galton–Watson Processo de Moran Variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
Tempo contínuo	Processo de Bessel Movimento browniano Ponte Excursão Fracionário Geométrico Meander Processo de Cauchy Processo de Cox Processo de Feller Processo de Fleming–Viot Processo de Hunt Difusão de Itô Processo de Itô Processo Lévy Tempo local Processo aditivo de Markov Processo de McKean–Vlasov Processo Ornstein–Uhlenbeck Processo de Poisson Evolução de Schramm–Loewner Processo de Wiener Processo de nascimento e morte Processo de contato Passeio aleatório de tempo contínuo Processo empírico Difusão de salto
Ambos	Processo gaussiano Modelo Galves-Löcherbach Cadeias estocásticas com memória de alcance variável Modelo oculto de Markov Processo de Markov Martingale Ruído branco Processo regenerativo
Campos e outros	Processo de Dirichlet Medida de Gibbs Modelo de Hopfield Modelo de Ising Modelo de Potts Campo aleatório de Markov Processo de Pitman–Yor Grafo aleatório
Modelos de série temporal	Modelos ARCH ARIMA ARMA
Modelos financeiros	Black–Derman–Toy Black–Karasinski Chen Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Modelos atuariais	Bühlmann Cramér–Lundberg Sparre–Anderson
Modelos de filas	Fila M/M/1
Propriedades	Càdlàg Processo contínuo de Feller Gauss–Markov Markov Contínuo Reversível no tempo
Teoremas limites	Teorema central do limite Teorema de Donsker Teoria ergódica Teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko Lei dos grandes números Lei do logaritmo iterado Teorema de Sanov
Desigualdades	Burkholder–Davis–Gundy Kunita–Watanabe Martingale de Doob
Ferramentas	Fórmula de Cameron–Martin Convergência de variáveis aleatórias Exponencial de Doléans-Dade Teorema da decomposição de Doob–Meyer Fórmula de Dynkin Fórmula de Feynman–Kac Teorema de Girsanov Integral de Itô Lema de Itō Teorema da continuidade de Kolmogorov Teorema da extensão de Kolmogorov Métrica de Lévy–Prokhorov Teorema de Prokhorov Integral de Skorokhod Teorema da representação de Skorokhod Espaço de Skorokhod Equação diferencial estocástica Tanaka Integral de Stratonovich Espaço de Wiener Clássico Abstrato Princípio da reflexão
Disciplinas	Ciências atuariais Econometria Teoria ergódica Matemática financeira Teoria das probabilidades Teoria das filas Estatística Cálculo estocástico Série temporal Aprendizado de máquina
Categoria:Processos estocásticos