Teorema de Donsker

Em teoria da probabilidade, o teorema de Donsker (também conhecido como princípio da invariância de Donsker, ou teorema central do limite funcional), em homenagem ao matemático Monroe D. Donsker, é uma extensão funcional do teorema central do limite.^[1]

Definição formal

Seja $X_{1},X_{2},X_{3},\ldots$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com média 0 e variância 1. Seja $S_{n}:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ . O processo estocástico $S:=(S_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ é conhecido como um passeio aleatório. Definindo o passeio aleatório escalado por

W^{(n)}(t):={\frac {S_{\lfloor nt\rfloor }}{\sqrt {n}}},\qquad t\in [0,1].

O teorema central do limite afirma que $W^{(n)}(1)$ converge em distribuição para uma variável aleatória gaussiana padrão $W(1)$ conforme $n\to \infty$ . O princípio da invariância de Donsker^[1]^[2] extende essa convergência para toda a função $W^{(n)}:=(W^{(n)}(t))_{t\in [0,1]}$ . Mais precisamente, em sua forma moderna, o princípio da invariância de Donsker afirma que: com variáveis aleatórias tomando valores no espaço de Skorokhod ${\mathcal {D}}[0,1]$ , a função aleatória $W^{(n)}$ converge em distribuição para um movimento browniano padrão $W:=(W(t))_{t\in [0,1]}$ conforme $n\to \infty .$

Seja $F_{n}$ a função distribuição empírica da sequência das variáveis aleatórias i.i.d. $X_{1},X_{2},X_{3},\ldots$ com função de distribuição $F$ . Definindo a versão centrada e reduzida de $F_{n}$ por

G_{n}(x)={\sqrt {n}}(F_{n}(x)-F(x))\,

indexadas por $x\in \mathbb {R}$ . Pelo teorema central do limite clássico, para $x$ fixo, a variável aleatória $G_{n}(x)$ converge em distribuição para uma variável aleatória gaussiana normal $G(x)$ , com média zero e variância de $F(x)(1-(F(x))$ conforme o tamanho da amostra $n$ cresce.

Teorema (Donsker, Skorokhod, Kolmogorov) — A sequência de G_n(x), como elementos aleatórios do espaço de Skorokhod ${\mathcal {D}}(-\infty ,\infty )$ , converge em distribuição para um processo gaussiano G com média zero e covariância dada por

\operatorname {cov} [G(s),G(t)]=E[G(s)G(t)]=\min\{F(s),F(t)\}-F(s)F(t).\,

O processo $G(x)$ pode ser escrito como $B(F(x))$ , onde $B$ é uma ponte browniana padrão no intervalo unitário.

História

Em 1933, Kolmogorov mostrou que, quando $F$ é contínuo, o supremo ${\textstyle \sup _{t}G_{n}(t)}$ e o supremo de valor absoluto, ${\textstyle \sup _{t}|G_{n}(t)|}$ converge em distribuição para as leis dos mesmos funcionais da ponte browniana $B(t)$ . Doob, em 1949, perguntou se a convergência em distribuição se mantinha para funcionais mais gerais, assim formulando um problema de convergência fraca de funções aleatórias em um espaço de função adequado.^[3]

Em 1952, Donsker afirmou e provou, apesar de com falhas,^[4] uma extensão geral para a abordagem heurística de Doob-Kolmogorov. No artigo original, Donsker provou que a convergência na lei de $G_{n}$ para a ponte browniana se mantém para distribuições uniformes $[0,1]$ com relação à convergência uniforme em $t$ sobre o intervalo $[0,1]$ .^[2]

No entanto, a formulação de Donsker não estava totalmente correta, por conta do problema da mensurabilidade dos funcionais de processos descontínuos. Em 1956, Skorokhod e Kolmogorov definiram uma métrica separável $d$ , chamada métrica de Skorokhod, no espaço de funções càdlàg em $[0,1]$ , tal que a convergência para $d$ para uma função contínua é equivalente a convergência para o supremo da norma, e mostrou que $G_{n}$ converge na lei em ${\mathcal {D}}[0,1]$ para a ponte browniana.

Mais tarde, Dudley reformulou o resultado de Donsker para evitar o problema de mensurabilidade e a necessidade da métrica de Skorokhod. Pode-se provar^[4] que existe $X_{i}$ , i.i.d. uniforme em $[0,1]$ e uma seqüência de pontes brownianas $B_{n}$ de amostragem contínua, tais que

\|G_{n}-B_{n}\|_{\infty }

é mensurável e converge em probabilidade para 0. Uma versão melhorada deste resultado, que fornece mais detalhes sobre a taxa de convergência, é a aproximação de Komlós–Major–Tusnády.

Veja também

Referências

↑ ^a ^b Donsker, M.D. (1951). «An invariance principle for certain probability limit theorems». Memoirs of the American Mathematical Society, 1951, no. 6
↑ ^a ^b Donsker, M. D. (1952). «Justification and extension of Doob's heuristic approach to the Kolmogorov–Smirnov theorems». Annals of Mathematical Statistics. 23: 277–281. MR 47288. Zbl 0046.35103. doi:10.1214/aoms/1177729445
↑ Doob, Joseph L. (1949). «Heuristic approach to the Kolmogorov–Smirnov theorems». Annals of Mathematical Statistics. 20: 393–403. MR 30732. Zbl 0035.08901. doi:10.1214/aoms/1177729991
↑ ^a ^b Dudley, R.M. (1999). Uniform Central Limit Theorems. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46102-2

[:0-1] Donsker, M.D. (1951). «An invariance principle for certain probability limit theorems». Memoirs of the American Mathematical Society, 1951, no. 6

[:02-2] Donsker, M. D. (1952). «Justification and extension of Doob's heuristic approach to the Kolmogorov–Smirnov theorems». Annals of Mathematical Statistics. 23: 277–281. MR 47288. Zbl 0046.35103. doi:10.1214/aoms/1177729445

[3] Doob, Joseph L. (1949). «Heuristic approach to the Kolmogorov–Smirnov theorems». Annals of Mathematical Statistics. 20: 393–403. MR 30732. Zbl 0035.08901. doi:10.1214/aoms/1177729991

[dudley19992-4] Dudley, R.M. (1999). Uniform Central Limit Theorems. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46102-2

[1]

[2]

[3]

[4]

v d e Processos estocásticos
Tempo discreto	Cadeias de Markov Passeio aleatório Autoevitante Processo de Bernoulli Processo de Galton–Watson Processo de Moran Variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
Tempo contínuo	Processo de Bessel Movimento browniano Ponte Excursão Fracionário Geométrico Meander Processo de Cauchy Processo de Cox Processo de Feller Processo de Fleming–Viot Processo de Hunt Difusão de Itô Processo de Itô Processo Lévy Tempo local Processo aditivo de Markov Processo de McKean–Vlasov Processo Ornstein–Uhlenbeck Processo de Poisson Evolução de Schramm–Loewner Processo de Wiener Processo de nascimento e morte Processo de contato Passeio aleatório de tempo contínuo Processo empírico Difusão de salto
Ambos	Processo gaussiano Modelo Galves-Löcherbach Cadeias estocásticas com memória de alcance variável Modelo oculto de Markov Processo de Markov Martingale Ruído branco Processo regenerativo
Campos e outros	Processo de Dirichlet Medida de Gibbs Modelo de Hopfield Modelo de Ising Modelo de Potts Campo aleatório de Markov Processo de Pitman–Yor Grafo aleatório
Modelos de série temporal	Modelos ARCH ARIMA ARMA
Modelos financeiros	Black–Derman–Toy Black–Karasinski Chen Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Modelos atuariais	Bühlmann Cramér–Lundberg Sparre–Anderson
Modelos de filas	Fila M/M/1
Propriedades	Càdlàg Processo contínuo de Feller Gauss–Markov Markov Contínuo Reversível no tempo
Teoremas limites	Teorema central do limite Teorema de Donsker Teoria ergódica Teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko Lei dos grandes números Lei do logaritmo iterado Teorema de Sanov
Desigualdades	Burkholder–Davis–Gundy Kunita–Watanabe Martingale de Doob
Ferramentas	Fórmula de Cameron–Martin Convergência de variáveis aleatórias Exponencial de Doléans-Dade Teorema da decomposição de Doob–Meyer Fórmula de Dynkin Fórmula de Feynman–Kac Teorema de Girsanov Integral de Itô Lema de Itō Teorema da continuidade de Kolmogorov Teorema da extensão de Kolmogorov Métrica de Lévy–Prokhorov Teorema de Prokhorov Integral de Skorokhod Teorema da representação de Skorokhod Espaço de Skorokhod Equação diferencial estocástica Tanaka Integral de Stratonovich Espaço de Wiener Clássico Abstrato Princípio da reflexão
Disciplinas	Ciências atuariais Econometria Teoria ergódica Matemática financeira Teoria das probabilidades Teoria das filas Estatística Cálculo estocástico Série temporal Aprendizado de máquina
Categoria:Processos estocásticos