Teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko

O biólogo e estatístico britânico Ronald Fisher.

Em estatística, o teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko, também chamado de teorema de Fisher–Tippett ou teorema do valor extremo, é um resultado geral na teoria dos valores extremos referente à distribuição assintótica de estatísticas de ordem extremas. O máximo de uma amostra de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas pode apenas convergir em distribuição a uma de três possíveis distribuições, a distribuição de Gumbel, a distribuição de Fréchet e a distribuição de Weibull. O matemático soviético Boris Gnedenko recebeu crédito pelo teorema do valor extremo (ou teorema da convergência a tipos) proposto em 1948.^[1] Versões anteriores foram publicadas pelos estatísticos britânicos Ronald Fisher e Leonard Henry Caleb Tippett em 1928 e pelo matemático francês Maurice Fréchet em 1927.^[2]^[3]

O papel do teorema dos tipos extremos para máximos é similar ao do teorema central do limite para médias, exceto pelo fato de que o teorema central do limite se aplica à média de uma amostra a partir de qualquer distribuição com variância finita, enquanto o teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko afirma apenas que, se a distribuição de um máximo normalizado converge, então o limite deve pertencer a uma classe particular de distribuições. Não afirma que a distribuição do máximo normalizado de fato converge.

Afirmação

Considere $X_{1},X_{2},...,X_{n}...$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e $M_{n}=\max\{X_{1},...,X_{n}\}$ . Se uma sequência de pares de números reais $(a_{n},b_{n})$ existe tal que cada $a_{n}>0$ e $\lim _{n\to \infty }P\left({\frac {M_{n}-b_{n}}{a_{n}}}\leq x\right)=F(x)$ , em que $F$ é uma função de distribuição não degenerada, então, a distribuição limite $F$ pertence às famílias de Gumbel, Fréchet ou Weibull. Estas podem ser agrupadas na distribuição generalizada de valor extremo.^[4]

Condições de convergência

Se $G$ for uma função de distribuição de $X$ , então, $M_{n}$ pode ser reescalonado para convergir em distribuição a:^[4]

Uma distribuição de Fréchet se e somente se $G(x)<1$ para todo $x$ real e ${\frac {1-G(tx)}{1-G(t)}}{\xrightarrow[{t\to +\infty }]{}}x^{-\theta },x>0$ . Neste caso, possíveis sequências são:^[4]
$b_{n}=0$ e $a_{n}=G^{-1}\left(1-{\frac {1}{n}}\right).$

Uma distribuição de Weibull se e somente se $\omega =\sup\{G<1\}<+\infty$ e ${\frac {1-G(\omega +tx)}{1-G(\omega -t)}}{\xrightarrow[{t\to 0^{+}}]{}}(-x)^{\theta },x<0$ . Neste caso, possíveis sequências são:^[4]
$b_{n}=\omega$ e $a_{n}=\omega -G^{-1}\left(1-{\frac {1}{n}}\right).$

Ver também

Referências

↑ Gnedenko, Boris (1948). «On a local limit theorem of the theory of probability» (PDF). Uspekhi Matematicheskikh Nauk. 3 (25). Consultado em 3 de agosto de 2017
↑ Fisher, R. A.; Tippett, L. H. C. (abril de 1928). «Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 24 (2): 180–190. ISSN 1469-8064. doi:10.1017/s0305004100015681
↑ Fréchet, Maurice. «Sur les ensembles compacts de fonctions mesurables». Fundamenta Mathematicae (em inglês). 9 (1). ISSN 0016-2736
↑ ^a ^b ^c ^d Alves, Isabel Fraga; Neves, Cláudia (2011). «Extreme Value Distributions». Springer Berlin Heidelberg. International Encyclopedia of Statistical Science (em inglês): 493–496. doi:10.1007/978-3-642-04898-2_246

[1] Gnedenko, Boris (1948). «On a local limit theorem of the theory of probability» (PDF). Uspekhi Matematicheskikh Nauk. 3 (25). Consultado em 3 de agosto de 2017

[2] Fisher, R. A.; Tippett, L. H. C. (abril de 1928). «Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 24 (2): 180–190. ISSN 1469-8064. doi:10.1017/s0305004100015681

[3] Fréchet, Maurice. «Sur les ensembles compacts de fonctions mesurables». Fundamenta Mathematicae (em inglês). 9 (1). ISSN 0016-2736

[:0-4] Alves, Isabel Fraga; Neves, Cláudia (2011). «Extreme Value Distributions». Springer Berlin Heidelberg. International Encyclopedia of Statistical Science (em inglês): 493–496. doi:10.1007/978-3-642-04898-2_246

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v d e Processos estocásticos
Tempo discreto	Cadeias de Markov Passeio aleatório Autoevitante Processo de Bernoulli Processo de Galton–Watson Processo de Moran Variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
Tempo contínuo	Processo de Bessel Movimento browniano Ponte Excursão Fracionário Geométrico Meander Processo de Cauchy Processo de Cox Processo de Feller Processo de Fleming–Viot Processo de Hunt Difusão de Itô Processo de Itô Processo Lévy Tempo local Processo aditivo de Markov Processo de McKean–Vlasov Processo Ornstein–Uhlenbeck Processo de Poisson Evolução de Schramm–Loewner Processo de Wiener Processo de nascimento e morte Processo de contato Passeio aleatório de tempo contínuo Processo empírico Difusão de salto
Ambos	Processo gaussiano Modelo Galves-Löcherbach Cadeias estocásticas com memória de alcance variável Modelo oculto de Markov Processo de Markov Martingale Ruído branco Processo regenerativo
Campos e outros	Processo de Dirichlet Medida de Gibbs Modelo de Hopfield Modelo de Ising Modelo de Potts Campo aleatório de Markov Processo de Pitman–Yor Grafo aleatório
Modelos de série temporal	Modelos ARCH ARIMA ARMA
Modelos financeiros	Black–Derman–Toy Black–Karasinski Chen Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Modelos atuariais	Bühlmann Cramér–Lundberg Sparre–Anderson
Modelos de filas	Fila M/M/1
Propriedades	Càdlàg Processo contínuo de Feller Gauss–Markov Markov Contínuo Reversível no tempo
Teoremas limites	Teorema central do limite Teorema de Donsker Teoria ergódica Teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko Lei dos grandes números Lei do logaritmo iterado Teorema de Sanov
Desigualdades	Burkholder–Davis–Gundy Kunita–Watanabe Martingale de Doob
Ferramentas	Fórmula de Cameron–Martin Convergência de variáveis aleatórias Exponencial de Doléans-Dade Teorema da decomposição de Doob–Meyer Fórmula de Dynkin Fórmula de Feynman–Kac Teorema de Girsanov Integral de Itô Lema de Itō Teorema da continuidade de Kolmogorov Teorema da extensão de Kolmogorov Métrica de Lévy–Prokhorov Teorema de Prokhorov Integral de Skorokhod Teorema da representação de Skorokhod Espaço de Skorokhod Equação diferencial estocástica Tanaka Integral de Stratonovich Espaço de Wiener Clássico Abstrato Princípio da reflexão
Disciplinas	Ciências atuariais Econometria Teoria ergódica Matemática financeira Teoria das probabilidades Teoria das filas Estatística Cálculo estocástico Série temporal Aprendizado de máquina
Categoria:Processos estocásticos