Processo de Gauss–Markov

Um processo de Gauss–Markov, que recebe este nome em homenagem ao matemático alemão Carl Friedrich Gauss e ao matemático russo Andrei Markov, é um processo estocástico que satisfaz os requisitos tanto dos processos de Gauss, como dos processos de Markov. O processo de Gauss–Markov estacionário é também conhecido como processo de Ornstein–Uhlenbeck.

Descrição

Todo processo de Gauss–Markov $X(t)$ possui as três seguintes propriedades:

1. Se $h(t)$ for uma função escalar não nula de $t$, então, $Z(t)=h(t)X(t)$ é também um processo de Gauss–Markov;
2. Se $h(t)$ for uma função escalar não decrescente de $t$, então, $Z(t)=X(f(t))$ é também um processo de Gauss–Markov;
3. Há uma função escalar não nula $h(t)$ e uma função escalar não decrescente $f(t)$, tal que $X(t)=h(t)W(f(t))$, em que $W(t)$ é um processo de Wiener padrão.

A terceira propriedade significa que todo processo de Gauss–Markov pode ser sintetizado a partir do processo de Wiener padrão.

Propriedades

Um processo de Gauss–Markov com variância ${\textbf {E}}(X^{2}(t))=\sigma ^{2}$ e constante de tempo $\beta ^{-1}$ tem:

• Autocorrelação exponencial: ${\textbf {R}}_{x}(\tau )=\sigma ^{2}e^{-\beta |\tau |}$.
• Uma função de densidade espectral de potência que tem a mesma forma da distribuição de Cauchy: ${\textbf {S}}_{x}(j\omega )={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{\omega ^{2}+\beta ^{2}}}.$

Note que a distribuição de Cauchy e este espectro diferem entre si por fatores de escala.

O que foi exposto acima produz a seguinte fatoração espectral:

${\textbf {S}}_{x}(s)={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{-s^{2}+\beta ^{2}}}={\frac {{\sqrt {2\beta }}\sigma }{(s+\beta )}}\cdot {\frac {{\sqrt {2\beta }}\sigma }{(-s+\beta )}},$

que é importante na filtração de Wiener e outras áreas.

Há também algumas exceções triviais ao que foi descrito acima.

Ver também

• Processo Ornstein–Uhlenbeck