Processo de Feller

 Nota: Não confundir com Processo contínuo de Feller.

Na teoria das probabilidades relativa aos processos estocásticos, um processo de Feller é um tipo particular de processo de Markov.

Definições

Considere $X$ um espaço de Hausdorff localmente compacto com uma base contável. Considere que $C_{0}(X)$ denota o espaço de todas as funções contínuas de valores reais em $X$ que desaparecem no infinito, equipadas com a norma uniforme $\|f\|$. A partir da análise, sabemos que $C_{0}(X)$ com a norma uniforme é um espaço de Banach.

Um semigrupo de Feller em $C_{0}(X)$ é uma coleção $\{T_{t}\}_{t\geq 0}$ de mapas lineares positivos de $C_{0}(X)$ a ela mesma, tal que:

• $||T_{t}f||\leq ||f||$ para todo $t\geq 0$ e $f$ em $C_{0}(X)$, isto é, é uma contração (no sentido fraco);
• A propriedade do semigrupo: $T_{t+s}=T_{t}T_{s}$ para todo $s,t\geq 0$;
• $\lim _{t\to 0}||T_{t}f-f||=0$ para toda $f$ em $C_{0}(X)$. Usando a propriedade do semigrupo, isto é equivalente ao mapa $T_{t}f$ de $t$ em $[0,\infty )$ a $C_{0}(X)$ sendo contínuo à direita para toda $f$.

Esta terminologia não é uniforme ao longo da literatura. Em particular, o pressuposto de que $T_{t}$ mapeia $C_{0}(X)$ em si mesmo é substituído por alguns autores pela condição de que mapeia $C_{b}(X)$, o espaço das funções contínuas limitadas, em si mesmo. A razão para isto é dupla: em primeiro lugar, permite incluir processos que entram "a partir do infinito" no tempo finito, e, em segundo lugar, é mais adequado para o tratamento de espaços que não são localmente compactos e, para isto, a noção de "desaparecer no infinito" não faz sentido.

Uma função de transição de Feller é uma função de transição de possibilidade associada com um semigrupo de Feller.

Um processo de Feller é um processo de Markov com uma função de transição de Feller.

Gerador

Processos de Feller (ou semigrupos de transição) podem ser descritos por seu gerador infinitesimal. Uma função $f$ em $C_{0}$ é dita no domínio do gerador se o limite uniforme:

$Af=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {T_{t}f-f}{t}},$

existe. O operador $A$ é o gerador de $T_{t}$ e o espaço das funções em que é definido é escrito $D_{A}$.

Uma caracterização dos operadores que podem ocorrer como o gerador infinitesimal do processo de Feller é dada pelo teorema de Hille–Yosida. Isto usa o resolvente do semigrupo de Feller definido abaixo.

Resolvente

O resolvente de um processo (ou semigrupo) de Feller é uma coleção de mapas $(R_{\lambda })_{\lambda >0}$ de $C_{0}(X)$ a ele mesmo definida por:

$R_{\lambda }f=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda t}T_{t}f\,dt.$

Pode-se mostrar que satisfaz a identidade:

$R_{\lambda }R_{\mu }=R_{\mu }R_{\lambda }=(R_{\mu }-R_{\lambda })/(\lambda -\mu ).$

Além disso, para qualquer $\lambda >0$, a imagem de $R_{\lambda }$ é igual ao domínio $D_{A}$ do gerador $A$ e:

${\begin{aligned}&R_{\lambda }=(\lambda -A)^{-1},\\&A=\lambda -R_{\lambda }^{-1}.\end{aligned}}$

Exemplos

• O movimento browniano e o processo de Poisson são exemplos de processos de Feller. De forma mais generalizada, todo processo de Lévy é um processo de Feller.
• Processos de Bessel são processos de Feller.
• Soluções a equações diferenciais estocásticas com coeficientes contínuos de Lipschitz são processos de Feller.
• Todo processo de Feller satisfaz a propriedade forte de Markov.

Ver também

• Processo de Markov
• Processo de Hunt