Processo de Pitman–Yor

Em teoria das probabilidades, um processo de Pitman–Yor, denotado $PY(d,\theta ,G_{0})$ , é um processo estocástico cujo caminho amostral é uma distribuição de probabilidade. Uma amostra aleatória a partir deste processo é uma distribuição de probabilidade discreta infinita, que consiste em um conjunto infinito de átomos retirados de $G_{0}$ , com pesos retirados de uma distribuição de Poisson–Dirichlet de dois parâmetros. O processo recebe este nome em homenagem aos matemáticos Jim Pitman e Marc Yor.^[1]^[2]

Os parâmetros que governam o processo de Pitman–Yor são: um parâmetro de desconto $0\leq d<1$ , um parâmetro de força $\theta >-d$ e uma distribuição de base $G_{0}$ sobre o espaço de probabilidade $X$ . Quando $d=0$ , torna-se o processo de Dirichlet. O parâmetro de desconto dá ao processo de Pitman–Yor mais flexibilidade sobre o comportamento de cauda quando comparado ao processo de Dirichlet, que tem caudas exponenciais. Isto torna o processo de Pitman–Yor útil para a modelagem de dados com caudas de lei de potência (por exemplo, frequências de palavras em linguagem natural).^[3]

A partição aleatória intercambiável induzida pelo processo de Pitman–Yor é um exemplo de uma partição de Poisson–Kingman e de uma partição aleatória de Gibbs.^[4]

Convenções nominais

O nome "processo de Pitman–Yor" foi cunhado por Hemant Ishwaran e Lancelot James depois da revisão de Pitman e Yor sobre o assunto.^[5]^[2] Entretanto, o processo foi originalmente estudado por Mihael Perman et al.^[6]^[7]

Também é algumas vezes referido como o processo de Poisson–Dirichlet de dois parâmetros, depois da generalização de dois parâmetros da distribuição de Poisson–Dirichlet que descreve a distribuição conjunta dos tamanhos dos átomos na medida aleatória, separados por ordem estritamente decrescente.

Ver também

Distribuição de Dirichlet

Referências

↑ Ishwaran, Hemant; James, Lancelot F. (2003). «GENERALIZED WEIGHTED CHINESE RESTAURANT PROCESSES FOR SPECIES SAMPLING MIXTURE MODELS». Statistica Sinica. 13 (4): 1211–1235
↑ ^a ^b Pitman, Jim; Yor, Marc (1997). «The two-parameter Poisson-Dirichlet distribution derived from a stable subordinator». The Annals of Probability. 25 (2): 855–900. ISSN 0091-1798. doi:10.1214/aop/1024404422
↑ Pitman, Jim (11 de maio de 2006). Combinatorial Stochastic Processes: Ecole d'Eté de Probabilités de Saint-Flour XXXII - 2002 (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783540309901
↑ Teh, Yee Whye (17 de julho de 2006). «A hierarchical Bayesian language model based on Pitman-Yor processes». Association for Computational Linguistics. Proceedings of the 21st International Conference on Computational Linguistics and the 44th annual meeting of the ACL - ACL '06: 985–992. doi:10.3115/1220175.1220299
↑ Ishwaran, Hemant; James, Lancelot (2001). «Gibbs Sampling Methods for Stick-Breaking Priors». Journal of the American Statistical Association. 96 (453). Consultado em 18 de janeiro de 2018
↑ Perman, Mihael; Pitman, Jim; Yor, Marc (1 de março de 1992). «Size-biased sampling of Poisson point processes and excursions». Probability Theory and Related Fields (em inglês). 92 (1): 21–39. ISSN 0178-8051. doi:10.1007/BF01205234
↑ Perman, Mihael (1990). Random discrete distributions derived from subordinatores. Berkeley, Estados Unidos: Departamento de Estatística, Universidade da Califórnia em Berkeley

[1] Ishwaran, Hemant; James, Lancelot F. (2003). «GENERALIZED WEIGHTED CHINESE RESTAURANT PROCESSES FOR SPECIES SAMPLING MIXTURE MODELS». Statistica Sinica. 13 (4): 1211–1235

[:0-2] Pitman, Jim; Yor, Marc (1997). «The two-parameter Poisson-Dirichlet distribution derived from a stable subordinator». The Annals of Probability. 25 (2): 855–900. ISSN 0091-1798. doi:10.1214/aop/1024404422

[3] Pitman, Jim (11 de maio de 2006). Combinatorial Stochastic Processes: Ecole d'Eté de Probabilités de Saint-Flour XXXII - 2002 (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783540309901

[4] Teh, Yee Whye (17 de julho de 2006). «A hierarchical Bayesian language model based on Pitman-Yor processes». Association for Computational Linguistics. Proceedings of the 21st International Conference on Computational Linguistics and the 44th annual meeting of the ACL - ACL '06: 985–992. doi:10.3115/1220175.1220299

[5] Ishwaran, Hemant; James, Lancelot (2001). «Gibbs Sampling Methods for Stick-Breaking Priors». Journal of the American Statistical Association. 96 (453). Consultado em 18 de janeiro de 2018

[6] Perman, Mihael; Pitman, Jim; Yor, Marc (1 de março de 1992). «Size-biased sampling of Poisson point processes and excursions». Probability Theory and Related Fields (em inglês). 92 (1): 21–39. ISSN 0178-8051. doi:10.1007/BF01205234

[7] Perman, Mihael (1990). Random discrete distributions derived from subordinatores. Berkeley, Estados Unidos: Departamento de Estatística, Universidade da Califórnia em Berkeley

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v d e Processos estocásticos
Tempo discreto	Cadeias de Markov Passeio aleatório Autoevitante Processo de Bernoulli Processo de Galton–Watson Processo de Moran Variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
Tempo contínuo	Processo de Bessel Movimento browniano Ponte Excursão Fracionário Geométrico Meander Processo de Cauchy Processo de Cox Processo de Feller Processo de Fleming–Viot Processo de Hunt Difusão de Itô Processo de Itô Processo Lévy Tempo local Processo aditivo de Markov Processo de McKean–Vlasov Processo Ornstein–Uhlenbeck Processo de Poisson Evolução de Schramm–Loewner Processo de Wiener Processo de nascimento e morte Processo de contato Passeio aleatório de tempo contínuo Processo empírico Difusão de salto
Ambos	Processo gaussiano Modelo Galves-Löcherbach Cadeias estocásticas com memória de alcance variável Modelo oculto de Markov Processo de Markov Martingale Ruído branco Processo regenerativo
Campos e outros	Processo de Dirichlet Medida de Gibbs Modelo de Hopfield Modelo de Ising Modelo de Potts Campo aleatório de Markov Processo de Pitman–Yor Grafo aleatório
Modelos de série temporal	Modelos ARCH ARIMA ARMA
Modelos financeiros	Black–Derman–Toy Black–Karasinski Chen Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Modelos atuariais	Bühlmann Cramér–Lundberg Sparre–Anderson
Modelos de filas	Fila M/M/1
Propriedades	Càdlàg Processo contínuo de Feller Gauss–Markov Markov Contínuo Reversível no tempo
Teoremas limites	Teorema central do limite Teorema de Donsker Teoria ergódica Teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko Lei dos grandes números Lei do logaritmo iterado Teorema de Sanov
Desigualdades	Burkholder–Davis–Gundy Kunita–Watanabe Martingale de Doob
Ferramentas	Fórmula de Cameron–Martin Convergência de variáveis aleatórias Exponencial de Doléans-Dade Teorema da decomposição de Doob–Meyer Fórmula de Dynkin Fórmula de Feynman–Kac Teorema de Girsanov Integral de Itô Lema de Itō Teorema da continuidade de Kolmogorov Teorema da extensão de Kolmogorov Métrica de Lévy–Prokhorov Teorema de Prokhorov Integral de Skorokhod Teorema da representação de Skorokhod Espaço de Skorokhod Equação diferencial estocástica Tanaka Integral de Stratonovich Espaço de Wiener Clássico Abstrato Princípio da reflexão
Disciplinas	Ciências atuariais Econometria Teoria ergódica Matemática financeira Teoria das probabilidades Teoria das filas Estatística Cálculo estocástico Série temporal Aprendizado de máquina
Categoria:Processos estocásticos