Variação quadrática

Em matemática, a variação quadrática é usada na análise de processos estocásticos, como o movimento browniano e outros martingales. A variação quadrática é só mais um tipo de variação de um processo.

Definição

Suponha que $X_{t}$ é um processo estocástico de valores reais definido em um espaço de probabilidade $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ e com um índice de tempo $t$ que varia entre os números reais não-negativos. Sua variação quadrática é o processo, escrito como $[X]_{t}$ , definido como

[X]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}

em que $P$ varia entre as partições do intervalo $[0,t]$ e a norma da partição $P$ P é a malha. Este limite, se existe, é definido usando a convergência de variáveis aleatórias. Note que um processo pode ser de variação quadrática finita no sentido da definição dada aqui e seus caminhos podem ser, não obstante, quase certamente de variação quadrática infinita para todo $t>0$ no sentido clássico de tomar o supremo da soma de todas as partições; este é particularmente o caso do movimento browniano.

Mais geralmente, a covariância (ou variância cruzada) de dois processos $X$ e $Y$ é

[X,Y]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \to 0}\sum _{k=1}^{n}\left(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}\right)\left(Y_{t_{k}}-Y_{t_{k-1}}\right).

A covariância pode ser escrita em termos de variação quadrática pela identidade de polarização:

[X,Y]_{t}={\tfrac {1}{4}}([X+Y]_{t}-[X-Y]_{t}).

^[1]

Processos de variação finita

Diz-se que um processo $X$ tem variação finita se tiver variação limitada para cada intervalo de tempo finito (com probabilidade 1). Tais processos são muito comuns e incluem, particularmente, todas as funções continuamente diferenciáveis. A variação quadrática existe para todos os processos de variação contínua e finita e é zero.

Esta afirmação pode ser generalizada a processos não-contínuos. Qualquer processo de variação finita càdlàg $X$ tem variação quadrática igual à soma dos quadrados dos saltos de $X$ . Para afirmar isto mais precisamente, o limite à esquerda de $X_{t}$ referente a $t$ é denotado por $X_{t-}$ e o salto de $X$ no tempo $t$ pode ser escrito como $\Delta X_{t}=X_{t}-X_{t-}$ . Então, a variação quadrática é dada por

[X]_{t}=\sum _{0<s\leq t}(\Delta X_{s})^{2}.

A prova de que processos de variação finita e contínua têm variação quadrática zero segue da seguinte desigualdade. Aqui, $P$ é uma partição do intervalo $[0,t]$ e $V_{t}(X)$ é a variação de $X$ sobre $[0,t]$ .

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}&\leq \max _{k\leq n}|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|\sum _{k=1}^{n}|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|\\&\leq \max _{|u-v|\leq \Vert P\Vert }|X_{u}-X_{v}|V_{t}(X).\end{aligned}}

Pela continuidade de $X$ , este desaparece no limite conforme $\Vert P\Vert$ vai a zero.

Processos de Itō

A variação quadrática de um movimento browniano padrão $B$ existe e é dada por $[B]_{t}=t$ . Isto se generaliza a processos de Itō que, por definição, podem ser expressos em termos de integrais de Itō

X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds,

em que $B$ é um movimento browniano. Qualquer processo como tal tem variação quadrática dada por

[X]_{t}=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\,ds.

Semimartingales

É possível mostrar que variações e covariâncias quadráticas de todos os semimartingales existem. Eles formam uma parte importante da teoria do cálculo estocástico, aparecendo no lema de Itō, que é a generalização da regra da cadeia da integral de Itō. A covariância quadrática também aparece na fórmula de integração por partes.

X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t},

que pode ser usada para computar $[X,Y]$ .

De outra forma, isto pode ser escrito como uma equação diferencial estocástica:

\,d(X_{t}Y_{t})=X_{t-}\,dY_{t}+Y_{t-}\,dX_{t}+\,dX_{t}\,dY_{t},

em que $\,dX_{t}\,dY_{t}=\,d[X,Y]_{t}.$

Martingales

Todos os martingales càdlàg e martingales locais têm variação quadrática bem definida, que segue do fato de que tais processos são exemplos de semimartingales. Pode ser mostrado que a variação quadrática $[M]$ de um martingale localmente quadrado integrável é o único processo contínuo à direita e crescente a partir de zero, com saltos $\Delta [M]=\Delta M^{2}$ , tal que $M^{2}-[M]$ é um martingale local. Uma prova da existência de $[M]$ (sem uso de cálculo estocástico) é dada em Karandikar-Rao.^[2]

Um resultado útil para martingales quadrado integráveis é a isometria de Itō, que pode ser usada para calcular a variância de integrais de Itō,

\mathbb {E} \left(\left(\int _{0}^{t}H\,dM\right)^{2}\right)=\mathbb {E} \left(\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right).

Este resultado se mantém sempre que $M$ for um martingale quadrado integrável càdlàg e $H$ for um processo previsível limitado, sendo frequentemente usado na construção da integral de Itō.

Outro importante resultado é a desigualdade de Burkholder-Davis-Gundy, que dá limites ao máximo de um martingale nos termos da variação quadrática. Para um martingale local $M$ começando em zero, com máximo denotado por ${\textstyle M_{t}^{*}\equiv \sup _{s\leq t}|M_{s}|}$ e qualquer número real $p\geq 1$ , a desigualdade é

c_{p}\mathbb {E} ([M]_{t}^{p/2})\leq \mathbb {E} ((M_{t}^{*})^{p})\leq C_{p}\mathbb {E} ([M]_{t}^{p/2}).

Aqui, $c_{p}<C_{p}$ são constantes que dependem da escolha de $p$ , mas não do martingale $M$ ou do tempo $t$ usado. Se $M$ for um martingale local contínuo, então a desigualdade de Burkholder-Davis-Gundy se mantém para qualquer $p>0$ .

Um processo alternativo, a variação quadrática previsível, é usado às vezes para martingales localmente quadrado integráveis. É escrita como ${\langle M\rangle }_{t}$ e definida como sendo o único processo previsível contínuo à direita e crescente a partir de zero, tal que $M^{2}-\langle M\rangle$ é um martingale local. Sua existência segue do teorema da decomposição de Doob-Meyer e, para martingales locais contínuos, é igual à variação quadrática.

Ver também

Variação total

Referências

↑ Protter, Philip E. (2004), Stochastic Integration and Differential Equations, ISBN 3-540-00313-4 2nd ed. , Springer
↑ Karandikar, Rajeeva L.; Rao, B. V. (2014). «On quadratic variation of martingales» (PDF). Indian Academy of Sciences. Proceedings of Indian Academy Of Sciences. 124 (3): 457-469

[1] Protter, Philip E. (2004), Stochastic Integration and Differential Equations, ISBN 3-540-00313-4 2nd ed. , Springer

[2] Karandikar, Rajeeva L.; Rao, B. V. (2014). «On quadratic variation of martingales» (PDF). Indian Academy of Sciences. Proceedings of Indian Academy Of Sciences. 124 (3): 457-469

[1]

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v d e Processos estocásticos
Tempo discreto	Cadeias de Markov Passeio aleatório Autoevitante Processo de Bernoulli Processo de Galton–Watson Processo de Moran Variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
Tempo contínuo	Processo de Bessel Movimento browniano Ponte Excursão Fracionário Geométrico Meander Processo de Cauchy Processo de Cox Processo de Feller Processo de Fleming–Viot Processo de Hunt Difusão de Itô Processo de Itô Processo Lévy Tempo local Processo aditivo de Markov Processo de McKean–Vlasov Processo Ornstein–Uhlenbeck Processo de Poisson Evolução de Schramm–Loewner Processo de Wiener Processo de nascimento e morte Processo de contato Passeio aleatório de tempo contínuo Processo empírico Difusão de salto
Ambos	Processo gaussiano Modelo Galves-Löcherbach Cadeias estocásticas com memória de alcance variável Modelo oculto de Markov Processo de Markov Martingale Ruído branco Processo regenerativo
Campos e outros	Processo de Dirichlet Medida de Gibbs Modelo de Hopfield Modelo de Ising Modelo de Potts Campo aleatório de Markov Processo de Pitman–Yor Grafo aleatório
Modelos de série temporal	Modelos ARCH ARIMA ARMA
Modelos financeiros	Black–Derman–Toy Black–Karasinski Chen Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Modelos atuariais	Bühlmann Cramér–Lundberg Sparre–Anderson
Modelos de filas	Fila M/M/1
Propriedades	Càdlàg Processo contínuo de Feller Gauss–Markov Markov Contínuo Reversível no tempo
Teoremas limites	Teorema central do limite Teorema de Donsker Teoria ergódica Teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko Lei dos grandes números Lei do logaritmo iterado Teorema de Sanov
Desigualdades	Burkholder–Davis–Gundy Kunita–Watanabe Martingale de Doob
Ferramentas	Fórmula de Cameron–Martin Convergência de variáveis aleatórias Exponencial de Doléans-Dade Teorema da decomposição de Doob–Meyer Fórmula de Dynkin Fórmula de Feynman–Kac Teorema de Girsanov Integral de Itô Lema de Itō Teorema da continuidade de Kolmogorov Teorema da extensão de Kolmogorov Métrica de Lévy–Prokhorov Teorema de Prokhorov Integral de Skorokhod Teorema da representação de Skorokhod Espaço de Skorokhod Equação diferencial estocástica Tanaka Integral de Stratonovich Espaço de Wiener Clássico Abstrato Princípio da reflexão
Disciplinas	Ciências atuariais Econometria Teoria ergódica Matemática financeira Teoria das probabilidades Teoria das filas Estatística Cálculo estocástico Série temporal Aprendizado de máquina
Categoria:Processos estocásticos