Ponte browniana

Movimento browniano fixado nos dois extremos. Aqui se usa uma ponte browniana.

Uma ponte browniana é um processo estocástico $B(t)$ de tempo contínuo cuja distribuição de probabilidade é a distribuição de probabilidade condicional de um processo de Wiener $W(t)$ (um modelo matemático do movimento browniano) sujeito à condição de que $W(T)=0$, de modo que o processo esteja fixado na origem tanto em $t=0$, como em $t=T$. Mais precisamente,

$B_{t}:=(W_{t}\mid W_{T}=0),\;t\in [0,T]$

O valor esperado da ponte é zero, com variância ${\frac {t(T-t)}{T}}$, implicando que a maior incerteza está no meio da ponte, com zero incerteza nos nós. A covariância de $B(s)$ e $B(t)$ é $s(T-t)/T$ se $s<t$. Os incrementos na ponte browniana não são independentes

Relação com outros processos estocásticos

Se $W(t)$ for um processo de Wiener padrão, isto é, se para $t\geq 0$, $W(t)$ for normalmente distribuído com valor esperado 0 e variância $t$ e os incrementos forem estacionários e independentes, então

$B(t)=W(t)-{\frac {t}{T}}W(T)\,$

é uma ponte browniana para $t\in [0,T]$. Isto é independente de $W(T)$.

Reciprocamente, se $B(t)$ for uma ponte browniana e $Z$ for uma variável aleatória normal padrão independente de $B$, então o processo

$W(t)=B(t)+tZ\,$

é um processo de Wiener para $t\in [0,1]$. De forma mais generalizada, um processo de Wiener $W(t)$ para $t\in [0,T]$ pode ser decomposto em

$W(t)=B\left({\frac {t}{T}}\right)+{\frac {t}{\sqrt {T}}}Z.$

Outra representação da ponte browniana baseada no movimento browniano é, para $t\in [0,T]$,

$B(t)=(T-t)W\left({\frac {t}{T-t}}\right).$

Reciprocamente, para $t\in [0,\infty ]$,

$W(t)=(T+t)B\left({\frac {t}{T+t}}\right).$

A ponte browniana pode também ser representada como uma série de Fourier com coeficientes estocásticos, conforme

$B_{t}=\sum _{k=T}^{\infty }Z_{k}{\frac {{\sqrt {2}}\sin(k\pi t)}{k\pi }}$

em que $Z_{1},Z_{2},...$ são variáveis aleatórias normais padrão independentes e identicamente distribuídas, como exposto pelo teorema de Karhunen-Loève.

Uma ponte browniana é o resultado do teorema de Donsker na área dos processos empíricos. Também é usado no teste Kolmogorov–Smirnov na área de inferência estatística.

Considerações intuitivas

Um processo de Wiener padrão satisfaz a condição $W(0)=0$, sendo portanto "amarrado" à origem, mas os outros pontos não são restritos. Em um processo de ponte browniana , por outro lado, não só $B(0)=0$, mas também se exige que $B(T)=0$, isto é, que o processo esteja "amarrado" em $t=T$ da mesma forma. Assim como uma ponte é sustentada por pilares nos dois extremos, exige-se que uma ponte browniana satisfaça condições nos dois extremos do intervalo $[0,T]$. Em uma ligeira generalização, exige-se que $B(t_{1})=a$ e $B(t_{2})=b$, em que $t_{1}$, $t_{2}$, $a$ e $b$ são constantes conhecidas.

Suponha que foi gerada uma quantidade de pontos $W(0)$, $W(1)$, $W(2)$, $W(3)$$,...,$ de um caminho de processo de Wiener por simulação de computador. Deseja-se preencher espaços com pontos adicionais no intervalo $[0,T]$, isto é, fazer a interpolação entre os pontos já gerados $W(0)$ e $W(T)$. A solução é usar uma ponte browniana, da qual se exige que vá pelos valores $W(0)$ e $W(T)$.

Caso geral

Para o caso geral em que $B(t_{1})=a$ e $B(t_{2})=b$, a distribuição de $B$ no tempo $t\in (t_{1},t_{2})$ é normal, com média

$a+{\frac {t-t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}(b-a)$

e covariância entre $B(s)$ e $B(t)$, com $s<t$,

${\frac {(t_{2}-t)(s-t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}.$