(3^n)(n-1)<n! を満たす自然数nをすべて求めよ。 解説お願いします。

n=1のとき左辺=0,右辺=1より成立 n=2のとき左辺=9,右辺=2より不成立 n=3のとき左辺=54,右辺=6より不成立 n=4のとき左辺=243,右辺=24より不成立 n=5のとき左辺=972,右辺=120より不成立 n=6のとき左辺=3645,右辺=720より不成立 n=7のとき左辺=13122,右辺=5040より不成立 n=8のとき左辺=45927,右辺=40320より不成立 n=9のとき左辺=157464,右辺=362880より成立 n=1およびn≧9と予想する。 n=9のとき上記により成立。 n=k (k≧9)のとき (3^k)(k-1)<k! が成立と仮定 n=k+1のとき (k+1)!-(3^(k+1))×k =(k+1)×k!-(3×3^k)×k>(k+1)(3^k)(k-1)-3×3^k×k =3^k((k+1)(k-1)-3k) =3^k(k^2-3k-1) =3^k((k-3/2)^2-13/4)>0 (k≧9より) 以上より、n=1,n≧9

n=1のとき、 (3^n)(n-1)=3・0=0 n!=1 なので条件を満たします。 n=2のとき、 (3^n)(n-1)=9・1=9 n!=2!=2 なので条件を満たしません。 n=3のとき、 (3^n)(n-1)=27・2=54 n!=3!=6 なので条件を満たしません。 同様に続けると、 n=4のとき、(3^n)(n-1)=243、n!=24 n=5のとき、(3^n)(n-1)=972、n!=120 n=6のとき、(3^n)(n-1)=3645、n!=720 n=7のとき、(3^n)(n-1)=13122、n!=5040 n=8のとき、(3^n)(n-1)=45927、n!=40320 n=9のとき、(3^n)(n-1)=157464、n!=362880 なので、n=8までは条件を満たさず、n=9のとき、条件を満たします。 n=k≧9で条件を満たすとき、 (3^k)(k-1)<k! 3<k-1、0<k<k+1より、3k < (k-1)(k+1)なので、 (3^k)(k-1)・3k<k!・(k-1)(k+1) (3^(k+1))((k+1)-1)<(k+1)! よって、n=k+1でも条件を満たします。 よって、数学的帰納法により、答えはn=1, n≧9です。

n=1 , n≧9 証明は数学的帰納法あたり