Астроїда

Побудова астроїди

Астро́їда (грец. αστρον — зоря і ειδος — вид) — плоска алгебрична крива, що утворена фіксованою точкою М кола, яке котиться без ковзання по внутрішній стороні іншого нерухомого кола вчетверо більшого радіуса.

Рухоме коло (з радіусом $r$) називається твірним, нерухоме коло (з радіусом $R=4r$) — напрямним. ^{:стор.806}

Астроїда є гіпоциклоїдою з параметром $k={\frac {R}{r}}=4$, тобто з чотирма каспами; розміри твірного та напрямного кіл: $r\,;\,R=4r$.
Також, астроїда є гіпоциклоїдою з розмірaми напрямного та твірного кіл: $R\,;\,r={\frac {3}{4}}\cdot R$. ^:стор.1

Початковою точкою астроїди (як і будь-якої гіпоциклоїди) називають таку її точку $P$, що лежить на прямій, яка проходить через центр $C$ рухомого кола і його точку опори, і знаходиться по той же бік від $C$, що і точка опори. ^{:стор.805}

Початкові точки є каспами (простими точками звороту) астроїди. Початкові точки лежать на напрямному колі і збігаються з точками опори твірного кола.

Вершиною астроїди (як і будь-якої гіпоциклоїди) називають таку її точку $V$, що лежить на прямій, яка проходить через центр $C$ рухомого кола і його точку опори, і знаходиться з нею по різні боки від $C$. ^{:стор.806} Тобто вершина астроїди знаходиться в середині арки астроїди; астроїда має чотири вершини.

Криву вперше вивчав Йоганн Бернуллі в 1691 році, також про неї згадується в листуванні Лейбніца 1715 року, та в працях Даламбера 1748 року. Назву "Astrois" кривій дав Йозеф Йоганн Літтров в 1838 році..

Рівняння кривої

Нехай радіус напрямного (нерухомого) кола дорівнює $R=a$, а радіус твірного (рухомого) кола дорівнює $r$. Тоді:

• Рівняння астроїди в декартовій системі координат в неявному виді:^:стор.2

$$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.$$

Також: $$\left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}+27a^{2}x^{2}y^{2}=0.$$

При цьому осі координат проходять через початкові точки (каспи) астроїди (рис.), та є її осями симетрії; центр астроїди (центр нерухомого кола) знаходиться в початку координат $O(0,0)$.

• Рівняння астроїди в декартовій системі координат в параметричному виді: ^:стор.2

$${\begin{cases}x=a\cos ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\cos \left(t\right)+\cos \left(3t\right)\right)\\[2ex]y=a\sin ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\sin \left(t\right)-\sin \left(3t\right)\right)\end{cases}}\,;\quad 0\leq t\leq 2\pi$$

При цьому початкова точка астроїди, її касп, з якого починається утворення кривої, лежить на додатній частині осі $Ox$.

Параметр $t$ — це кут нахилу відрізка між центрами твірних кіл до осі $Ox$.

• Ці рівняння можна записати більш компактно у комплексній формі:

$4z=a\cdot \left(3e^{it}+e^{-3it}\right)$ .

• Рівняння астроїди в полярній системі координат:

$$\rho ={\frac {a}{\left(\cos ^{\frac {2}{3}}\varphi +\sin ^{\frac {2}{3}}\varphi \right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {|\sec \varphi |}{\left(1+\operatorname {tg} ^{\frac {2}{3}}\varphi \right)^{\frac {3}{2}}}};$$

де полярний кут $\varphi =\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}=\operatorname {arctg} \left(\operatorname {tg} ^{3}t\right).$

• Рівняння Чезаро для астроїди має вигляд: ^{:стор.819 ; :стор.2}

$\rho ^{2}+4\ell ^{2}={\frac {9}{4}}\cdot a^{2}$

де
$\rho$ — радіус кривини астроїди в певній точці;
$\ell$ — довжина дуги астроїди від її початку до цієї точки.

Це рівняння виражає наступну властивість астроїди:
Якщо дуга астроїди котиться без ковзання по прямій $AB$, то центр кривини точки дотику рухається по еліпсу; центр останнього лежить в тій точці прямої $AB$, через яку прокочується вершина астроїди; одна з напівосей збігається з прямою $AB$ і по довжині дорівнює половині арки астроїди, а саме: $\left|{\frac {4r\cdot (R-r)}{R}}\right|={\frac {3}{4}}\cdot a$.

Друга напіввісь є радіусом кривини в вершині і дорівнює: $\left|{\frac {4r\cdot (R-r)}{R-2r}}\right|={\frac {3}{2}}\cdot a$. ^{:стор.819}

Метричні характеристики

• Довжина дуги астроїди між точками, що відповідають параметру $t\quad \left(0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}\right)$

$\ell ={\frac {3}{2}}\cdot \sin ^{2}t\cdot a.$

Зокрема, довжина дуги однієї повної арки астроїди дорівнює:

$\ell ={\frac {3}{2}}\cdot a$

а довжина всієї астроїди:

$\ell =6\cdot a$

• Площа сектора, що обмежений однією аркою астроїди та координатними осями, дорівнює

$S={\frac {3}{32}}\cdot \pi a^{2}$

а фігури, що обмежена повною астроїдою:

$S={\frac {3}{8}}\cdot \pi a^{2}\approx 1.178097\cdot a^{2}$

послідовність A093828 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

• Площа поверхні тіла обертання, утвореного при обертанні астроїди навколо будь-якої координатної осі: ^:стор.2

$S={\frac {12}{5}}\,\pi a^{2}$

• Об'єм тіла обертання, утвореного при обертанні астроїди навколо будь-якої координатної осі: ^:стор.2

$V=\pi \int \limits _{-a}^{a}\left(a^{2/3}-x^{2/3}\right)^{3}\,dx={\frac {32}{105}}\,\pi a^{3}$

• Кривина астроїди в деякій її точці $M$, що відповідає параметру $t$:

$\kappa (t)=-{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{|\sin 2t|}}$

а радіус кривини в цій точці: ^:стор.2

$\rho (t)={\frac {3}{2}}\cdot |\sin 2t|\cdot a=3\cdot {\sqrt[{3}]{a\cdot xy}}.$

В точках звороту астроїди радіус кривини дорівнює $\rho =0,$
В вершинах астроїди радіус кривини дорівнює $\rho ={\frac {3}{2}}\cdot a.$

• Центр мас

Координати центра мас частин астроїди
	Інтервал	$x_{\mathrm {S} }$	$y_{\mathrm {S} }$
Периметр кривої	0 ≤ t ≤ ${\tfrac {\pi }{2}}$	${\tfrac {2}{5}}a$	${\tfrac {2}{5}}a$
	0 ≤ t ≤ $\pi$	0	${\tfrac {2}{5}}a$
Плоска фігура	0 ≤ t ≤ ${\tfrac {\pi }{2}}$	${\tfrac {256}{315\pi }}a$	${\tfrac {256}{315\pi }}a$
	0 ≤ t ≤ $\pi$	0	${\tfrac {256}{315\pi }}a$
Тіло обертання навколо осі Х $(z_{S}=0)$	0 ≤ t ≤ ${\tfrac {\pi }{2}}$	${\tfrac {21}{128}}a$	0

Властивості та особливості форми

• Астроїда є плоскою алгебричною кривою шостого порядку роду 0.
• Крива має 4 осі симетрії, дві з яких проходять через протилежні вершини, а інші дві — через протилежні каспи астроїди. Крива має центр симетрії.
• Астроїда має чотири сингулярні точки на дійсній площині (точки звороту); також астроїда має дві комплексні сингулярні точки звороту на нескінченності, та чотири комплексні сингулярні вузлові (подвійні) точки. Загалом астроїда має 10 сингулярних точок.

Астроїда як обвідна сімейства відрізків

Астроїда як обвідна сімейства еліпсів
Астроїдаx^2⁄3 + y^2⁄3 = r^2⁄3 є обвідною сімейства еліпсів з рівнянням (x⁄a)² + (y⁄b)² = r², де a + b = 1.

• Дотична до астроїди в довільній її точці Р утворює в перетині з осями координат відрізок АВ сталої довжини а.
• Астроїда є обвідною сімейства відрізків однакової довжини, кінці яких закріплені на двох взаємно-перпендикулярних прямих.
• Астроїда є обвідною сімейства коаксіальних (співвісних) еліпсів, для яких сума малої та великої півосей є сталою. ^{:стор.2, рис.2b ; :стор.11}

• 

  Подерою астроїди відносно її центра є чотирипелюсткова троянда. ^{:стор.166}

Для астроїди

${\begin{cases}x(t)=R\cdot \cos ^{3}{\frac {t}{3}}\\y(t)=R\cdot \sin ^{3}{\frac {t}{3}}\end{cases}}$,

де $t$ — кут повороту твірного (рухомого) кола;
$R$ — радіус напрямного (нерухомого) кола.
рівняння подери відносно її центру (початку координат) буде:

$\rho ={\frac {R}{2}}\cdot \sin 2\varphi$

або

$(x^{2}+y^{2})^{3}=R^{2}\cdot x^{2}y^{2}$

Ця троянда є вписаною в коло, яке вписане в астроїду. Вершини троянди збігаються з вершинами астроїди. ^{:стор.133; 166}

Еволюта астроїди

• Астроїда (як і будь-яка гіпоциклоїда) та її еволюта подібні.

Відношення подібності складає ^{:стор.818} $R:(R-2r)=2,$ тобто еволюта астроїди вдвічі більша за неї.

Еволюта має той же центр, що і початкова астроїда. Каспи початкової кривої збігаються з вершинами її еволюти. Отже, еволюту можна отримати, повернувши дану астроїду на кут ${\frac {\pi }{4}}$, а потім відповідно маштабувавши її.^{:стор.131}

Для астроїди ${\begin{cases}x=a\cdot \cos ^{3}t\\y=a\cdot \sin ^{3}t\end{cases}}$ рівняння її еволюти: ^:стор.60

${\begin{cases}x=a\cdot \cos t\cdot (1+\sin ^{2}t)\\y=a\cdot \sin t\cdot (1+\cos ^{2}t)\end{cases}}$

Еліпс та його евоолюта

• Еволютою еліпса ${\begin{cases}x=a\cdot \cos t\\y=b\cdot \sin t\end{cases}}$ є крива, що є узагальненням астроїди — подовжена астроїда, рівняння якої:^{:стор.267}

$${\begin{cases}x={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cdot \cos ^{3}t\\y=-{\frac {a^{2}-b^{2}}{b}}\cdot \sin ^{3}t\end{cases}}$$

Вилучивши параметр $t$, отримаємо рівняння еволюти еліпса в неявному виді:

$$\left({\frac {x}{\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}}\right)^{\frac {2}{3}}+\left({\frac {y}{\frac {a^{2}-b^{2}}{b}}}\right)^{\frac {2}{3}}=1$$

• Двоїстою кривою астроїди є хрестоподібна крива з рівнянням: ${\textstyle x^{2}y^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

Література

• Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред. М. П. Бажан ; редкол.: О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. — К. : Головна редакція УРЕ, 1974–1985.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. с. 168, 171–173. ISBN 0-486-60288-5.

• Вірченко Н.О. , Ляшко І.І. , Швецов К.І. Графіки функцій. Довідник / під ред. академіка АН УРСР Ляшко І.І. — Київ : Наукова думка, 1977. — 320 с.

• Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение. (Справочное руководство). — москва : государственое издательство физико- математической литератури, 1960.

• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — изд.10. — москва : Наука, 1973.

• Robert C. Yates (1947). A Handbook on Curves and their Properties. digital reprint by www.CircuitousRoot.com. с. 198.
• Lockwood E. H. (Edward Harrington) (1961). A Book of Curves. Cambridge, Eng. : University Press. с. 198. ISBN 9780511569340.

• Wells, D. (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry (PDF) (англ.). London: Penguin. с. 154—155. ISBN 0-14-011813-6.
• Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М.М. Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник. — москва : фазис, 1997. — 336 с. — ISBN 5-7036-0027-8.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Astroid(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Astroid, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Astroid на сайті MacTutor (англ.)
• Ferréol Robert , ASTROÏDE, на сайті MATHCURVE.COM, 2006
• Xah Lee. Astroid