Астроида

У математици, астроида је посебна врста криве: хипоциклоида код које је однос полупречника покретне и фиксиране кружнице једнак 1/4. Посматрамо кружницу полупречника $r$ која се котрља по унутрашњој страни друге, фиксиране кружнице полупречника $R=4r$ . Астроида је трајекторија проивољно изабране тачке на мањој кружници. То је, такође и супер елипса код које је n=2/3 и a=b.

Назив

Порекло имена астроида може се наћи у грчкој речи за звезду. Ова крива је раније називана и кубоциклоидом и парациклом.

Једначина астроиде

Параметарске једначине астроиде која настаје када је полупречник фиксираног круга једнак $R$ добијамо из једначина хипоциклоиде. Ако искористимо да је m=1/4, биће:
$x=R\cos ^{3}t,\qquad y=R\sin ^{3}t$ .
Елиминацијом параметра добијамо често употребљаван облик једначине астроиде:
$x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}$ .
Астроида се може представити и једначином:
$(x^{2}+y^{2}-R^{2})^{3}+27R^{2}x^{2}y^{2}=0$ .

Основне особине

Астроида је равна алгебарска крива са особином да јој је род једнак нули. Спада у алгебарске криве шестог реда, и има десет сингуларитета, од чега четири у реалној равни, који се налазе у врховима звезде и шест комплексних сингуларитета (2 у бесконачности и 4 двострука).

Еволута астроиде је такође астроида, слична датој, са коефицијентом сличности 2, дакле двоструко већа.

Дужина лука астроиде од тачке на позитивном делу x-осе, до произвољне тачке $M(t)$ једнака је $l={\frac {3}{2}}R\sin ^{2}{\frac {t}{4}}$ . Дужина једне гране је $l={\frac {3}{2}}R$ , а дужина целе криве $l=6R$

Дуж дужине једнаке полупречнику фиксиране кружнице којој једна крајња тачка клизи по x-оси, а друга по y-оси, је тангента астроиде, па је астроида омотач дужи константне дужине којима крајеви клизе по две међусобно нормалне праве.

Где се може видети астроида

Стари лого компаније U.S. Steel садржао је три астроиде, плаву, жуту и црвену.

Данас се може видети на заштитном знаку Питсбург Стилерса, једног од познатијих рагби тимова.

Извори и литература

А. А. Савелов, Равнинске кривуље, Школска књига, Загреб, 1979.

Спољашње везе