Астроида

Астроида

Астро́ида (от греч. αστρον — звезда и ειδος — вид, то есть звездообразная) — плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса $r$, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса $R=4r$. Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем $k=4$.

История

Название кривой в форме «Astrois» предложил австрийский астроном Йозеф Иоганн фон Литров в 1838 г.

Уравнения

Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:

$x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}$

Параметрическое уравнение:

$x=R\cos ^{3}t;\quad y=R\sin ^{3}t$

Подерное уравнение:

$r^{2}+3p^{2}=a^{2}.$

Астроида также является алгебраической кривой 1 рода (и шестого порядка). Уравнение в алгебраическом виде:

$(x^{2}+y^{2}-R^{2})^{3}+27R^{2}x^{2}y^{2}=0$

Свойства

Астроида как огибающая

Вытянутая астроида как эволюта эллипса

Эволюта астроиды

• Имеются четыре каспа.
• Длина дуги от точки с 0 до $t\leq \pi /2$

$l={\frac {3}{2}}R\sin ^{2}t$

• Длина всей кривой $6R$.
• Радиус кривизны:

$r(t)={\frac {3}{2}}R\sin 2t$

• Площадь, ограниченная кривой:

$S={\frac {3}{8}}\pi R^{2}$

• Объём тела вращения относительно любой координатной оси:

$V=\pi \int \limits _{-R}^{R}\left(R^{2/3}-x^{2/3}\right)^{3}\,dx={\frac {32}{105}}\,\pi R^{3}$

• Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.
• Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°.
• Астроида (вытянутая вдоль оси) является эволютой эллипса. В этом случае параметрическое выражение имеет вид:

  $x={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t;\quad y={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\sin ^{3}t$

• Неопределённый интеграл правой части последнего уравнения является интегралом от дифференциального бинома и равен

$\int b{\bigg [}1-{\bigg (}{\frac {x}{a}}{\bigg )}^{\frac {2}{3}}{\bigg ]}^{\frac {3}{2}}dx={\frac {1}{16}}b\left({\sqrt {1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {2}{3}}}}\left(-3a{\sqrt[{3}]{\frac {x}{a}}}+x\left(14-8\left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {2}{3}}\right)\right)+3a\arcsin \left({\sqrt[{3}]{\frac {x}{a}}}\right)\right)+C$

Это выражение полезно при вычислении площадей элементов фигуры.

Литература

• Савёлов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
• Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд., испр. — М.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
• Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.