Кубика

У математиці, плоска кубічна крива (або плоска крива третього степеня) — це плоска алгебрична крива $K_{3}$, загальне рівняння якої в декартовій системі координат має вигляд:

$A\cdot x^{3}+3B\cdot x^{2}y+3C\cdot xy^{2}+D\cdot y^{3}+3E\cdot x^{2}+6F\cdot xy+3G\cdot y^{2}+Hx+Iy+K=0$

де хоча б один з коефіцієнтів A, B, C, D не дорівнює нулю.

Приклади кривих 3-го порядку.

Загальне рівняння кривої 3-го порядку має 10 коефіцієнтів. Оскільки крива не зміниться, якщо рівняння помножити на довільне ненульове число, то належним підбором множника можна будь-який коефіцієнт рівняння зробити рівним 1, і, таким чином, залишити 9 коефіцієнтів.

Отже, простір кубічних кривих можна ототожнити з дійсним проєктивним простором $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{9}$ розмірності 9, відносно будь-якого даного поля C.

Звідси також випливає, що оскільки кубика має 9 ступенів вільності, то згідно з теоремою Крамера про алгебричні криві довільні 9 точок площини в загальному положенні однозначно визначають єдину невироджену криву 3-го порядку. Аналогічно до того, як дві точки однозначно визначають пряму, а п'ять точок визначають коніку.

Якщо через задану множину дев'яти точок проходять дві криві, то ці точки фактично визначають сімейство кубічних кривих, та мають додаткові властивості; див. теорему Келі-Бакараха.

Сингулярна кубічна крива y² = x² ⋅ (x + 1). Параметризація: t ↦ (t² − 1, t ⋅ (t² − 1)).

Невироджена плоска крива 3-го порядку може мати такі сингулярні (тобто особливі) точки: одну вузлову (подвійну) точку, або одну точку звороту (касп). В цьому випадку вона має параметризацію в термінах проєктивної прямої.

Вироджена плоска крива 3-го порядку (це або коніка та пряма, або три прямі), може мати дві подвійні вузлові точки чи точку самодотику (у випадку конічного перерізу і прямої), або до трьох подвійних точок чи однієї потрійної точки (конкурентні прямі у випадку трьох прямих).

Дійсні точки кубічних кривих вивчалися Ісааком Ньютоном. Дійсні точки несингулярної проєктивної кривої потрапляють до одного або двох «овалів». Один з цих овалів перетинає кожну дійсну проєктивну пряму, і, таким чином, не обмежений у випадку, коли крива розглядається в евклідової площині. Він існує у вигляді одної або трьох нескінченних гілок, що містять три дійсні точки перегину. Інший овал, якщо він існує, не містить жодної дійсної точки перегину і може бути або у вигляді овалу, або у вигляді двох нескінченних гілок. Як і для конічних перетинів, пряма перетинає цей овал не більше ніж у двох точках.

Несингулярна кубічна крива визначає еліптичну криву, над будь-яким полем C, для якого вона має визначену точку. Еліптичні криві тепер, зазвичай, вивчаються у вигляді еліптичних функцій Вейєрштрасса, які визначають квадратичне розширення поля раціональних функцій, зроблених шляхом добування квадратного кореня з кривої. Це залежить від наявності K-раціональної точки, яка слугує точкою на нескінченності в формі Вейерштрасса. Існує багато кубічних кривих, які не мають таку точку, наприклад, коли K — поле раціональних чисел.

Можна розглядати криві 3-го степеня над іншими полями (або навіть кільцями), наприклад, над комплексними числами. Окрім того, можна розглядати криві в проєктивній площині, що задаються однорідними багаточленами.

Альтернативне означення:

Плоска кубічна крива — це алгебрична крива $K_{3}$, що задана кубічним рівнянням F(x, y, z) = 0 в однорідних координатах x:y:z проєктивної площини.

У випадку неоднорідних координат афінного простору, у рівнянні приймають z = 1. Функція F є ненульовою лінійною комбінацією щонайбільше десяти одночленів третього степеня: x³, y³, z³, x²y, x²z, y²x, y²z, z²x, z²y, xyz.

Класифікація кривих третього порядку

Вперше класифікацію кривих 3-го порядку здійснив І. Ньютон в 1704 році, описавши в своїй роботі 72 криві. Однак пізніше Дж. Стірлінг та Ф. Ніколь доповнили його класифікацію ще шістьма кривими, які Ньютон неврахував.

Найбільш зручний принцип, що покладається в основу класифікації кривих 3-го порядку, є розподіл їх на групи в залежності від кількости та характеру їх нескінченних гілок.

Класифікація Ньютона

І.Ньютон , застосовуючи елементарні перетворення, зводить загальне рівняння 3-го степеня (див. попередній розділ) до однієї з чотирьох канонічних форм:^:стор.8

${\begin{aligned}&A:\qquad xy^{2}+ey&=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,;\\&B:\qquad xy&=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,;\\&C:\qquad y^{2}&=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,;\\&D:\qquad y&=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.\end{aligned}}$

Потім за коефіцієнтами канонічного рівняння він формує допоміжне характеристичне рівняння 4-го (або 3-го) степеня:

$a\cdot x^{4}+b\cdot x^{3}+c\cdot x^{2}+d\cdot x+{\frac {e^{2}}{4}}=0$

або

$a\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}+c\cdot x+d=0$

В залежности від різних співвідношень між коренями характеристичного рівняння, Ньютон поділяє всі криві 3-го порядку на 7 класів, 14 родів та 72 типи.

• Криві, рівняння яких зводиться до канонічної форми $A$, Ньютон поділяє на 4 класи:

$\qquad$Клас 1 Гіперболічні гіперболи $(a>0)$ (розділяються в свою чергу на 4 роди):

1. Адіаметральні $(e\neq 0)$ — без діаметрів; (9 типів кривих);
2. Монодіаметральні $(e=0;b^{2}\neq 4ac)$ — з одним діаметром; (12 типів кривих);
3. Тридіаметральні $(e=0;b^{2}=4ac)$ — з трьома діаметрами; (2 типа кривих);
4. Гіперболічні гіперболи з асимптотами, що перетинаються в одній точці $(b=0)$; (9 типів кривих).

$\qquad$Клас 2 Дефективні гіперболи $(a<0)$:

1. Адіаметральні $(e\neq 0)$; (6 типів кривих);
2. Монодіаметральні $(e=0)$; (7 типів кривих).

$\qquad$Клас 3 Параболічні гіперболи $(a=0;\,b\neq 0)$:

1. Адіаметральні $(e\neq 0)$; (7 типів кривих);
2. Монодіаметральні $(e=0)$; (4 типа кривих).

$\qquad$Клас 4 Гіперболізми конічних перетинів $(a=b=0)$:

1. Гіперболізм гіперболи $(c>0)$; (4 типа кривих);
2. Гіперболізм еліпса $(c<0)$; (3 типа кривих);
3. Гіперболізм параболи $(c=0)$; (2 типа кривих).

• Криві, рівняння яких зводиться до канонічних форм $B$, $C$ та $D$ налічуюють по одному класу:

$\qquad$Клас 5 Тризуб або Параболізм гіперболи;
$\qquad$Клас 6 Розбіжна парабола (цей клас поділяється на 5 типів);
$\qquad$Клас 7 Кубічна парабола.

Класифікація Плюккера

Ю. Плюккер класифікує криві 3-го порядку (1835 р.) в задежности від положення асимптот та прямої $s$, що з'єднує точки перетину кривої з асимптотами.

Плюккер поділяє всі криві 3-го порядка на 6 класів:^{:стор.28-30}
$\qquad$1-й клас містить гіперболічні та дефективні гіперболи. Криві цього класу мають три прямолінійні асимптоти.
$\qquad$2-й клас містить параболічні гіперболи, що мають одну прямолінійну та одну параболічну асимптоти.
$\qquad$3-й клас містить гіперболізми конічних перетинів. У кривих цього класу дві з трьох прямолінійних асимптот паралельні між собою.
$\qquad$4-й клас містить розбіжні параболи, асимптотою яких є також розбіжна парабола.
$\qquad$5-й клас містить тризубці, що мають одну прямолінійну та одну параболічну асимптоти.
$\qquad$6-й клас містить кубічні параболи, які не мають асимптот.
Криві одного класу Плюкер поділяє на категорії, роди, види, групи та типи. Всього він налічує 219 типів кривих 3-го порядку.

Властивості кривих третього порядку

Формули Плюккера

1. Нехай

$n=k\cdot (k-1)-2t-3\omega$ — порядок кривої ;
$k=n\cdot (n-1)-2d-3r$ — клас кривої (визначається кількістю дотичних до кривої, які можна провести з точки, що лежить поза кривою);
$r=3k\cdot (k-2)-6t-8\omega$ — кількість точок звороту;
$d$ — кількість інших подвійних точок ;
$\omega =3n\cdot (n-2)-6d-8r$ — кількість точок перегину;
$t$ — кількість подвійних дотичних;
$p$ — дефіцієнт кривої (різниця між можливою та наявною кількістю подвійних точок).
Згідно зі своїми формулами, Юліус Плюккер для кривої третього порядку представив ці залежності у вигляді таблиці, виділивши три типи кривих 3-го порядку:^{:стор.95 :стор.201}

Тип	n	k	r	d	ω	t	p
(I)	3	6	0	0	9	0	1
(II)	3	4	0	1	3	0	0
(III)	3	3	1	0	1	0	0

Криві типів (II) та (III) є раціональними кубиками, та відомі як нодальні (мають особливу вузлову точку (або точку самоперетину), з двома дотичними в ній) та каспідальні (мають особливу точку звороту  — касп) кубики відповідно. Криві типу (I) є несингулярними кубиками (без особливих точок), тобто еліптичними кривими.

Теореми

1. 1 Теорема Маклорена

Якщо в трьох точках перетину кривої 3-го порядку з деякою прямою провести до цієї кривої дотичні, то точки їх перетину з кривою лежать також на одній прямій.^:стор.54

1. 2 Якщо пряма проходить через дві точки перегину кривої 3-го порядку, то вона обов'язково пройде і через третю точку перегину.^:стор.55
   

Згідно з цією теоремою, якщо крива має три точки перегину, то вони обов'язково дежать га одній прямій.

1. 3 Якщо через чотири точки кривої 3-го порядку проведена крива 2-го порядку, яка перетинає задану криву ще в двох точках, то пряма, що проведена через ці дві точки, перетинає криву 3-го порядку в певній точці, що спільна для всіх кривих 2-го порядку, які проходять через чотири задані точки.^:стор.55

Точки перегину, кратні точки

Відомо, що точки перегину алгебричної кривої збігаються з точками перетину цієї кривої та її гесіани.^:стор.56

Гесіаною алгебричної кривої $F(x,y)=0$ називається крива, що визначається рівнянням ${\begin{vmatrix}F_{xx}&F_{xy}&F_{x}\\F_{xy}&F_{yy}&F_{y}\\F_{x}&F_{y}&0\end{vmatrix}}=0$

Гесіана кривої 3-го порядку є крива 3-го порядку. Звідки випливає, що максимальна кількість точок перегину у кривої 3-го порядку не перевищує дев'яти. З них дійсними точками можуть бути лише три.

• Як довів Ф.Кляйн ^{:стор.161} для кривої $K_{n}^{k}$ (крива n-го порядку та k-го класу) має місце співвідношення:

$n+\omega '+2t''=k+r'+d''$

де
$\omega '$ — кількість дійсних точок перегину;
$r'$ — кількість дійсних точок звороту;
$d''$ — кількість дійсних ізольованих точок;
$t''$ — кількість дійсних ізольованих дотичних.
З цих співвідношень випливає, що крива $K_{3}$ має або три дійсні точки перегину (неособлива $K_{3}$ та $K_{3}^{4}$ з ізольованою точкою), або ж одну дійсну точку перегину ($K_{3}^{4}$ з вузловою точкою та $K_{3}^{3}$).

• Крива 3-го порядку з вузловою точкою має одну дійсну точку перегину та дві уявні. У кривої 3-го порядку з ізольованою точкою всі три точки перегину дійсні.

Кожна крива 3-го порядку, яка не має подвійної точки, має щонайменше одну дійсну точку перегину (яка може бути і нескінченно віддаленою).^:стор.56

• Крива 3-го порядку не може мати бьш ніж одну подвійну точку, а також не може мати потрійних точок.
• Крива $K_{3}$ не може мати уявних подвійних точок, а також подвійних дотичних, оскільки подвійна дотична має з кривою не менш ніж чотири спільні точки.
• Криві 3-го порядку, які мають подвійну точку, є раціональними кривими.

Помістивши початок координат в подвійну точку, отримаємо рівняння кривої 3-го порядку у вигляді:

$A\cdot x^{3}+3B\cdot x^{2}y+3C\cdot xy^{2}+D\cdot y^{3}+3E\cdot x^{2}+6F\cdot xy+3G\cdot y^{2}=0$

Установивши, що $y=t\cdot x$ отримаємо параметричні рівняння кривої 3-го порядку: ${\begin{cases}x(t)=-{\frac {3(E+2F\cdot t+G\cdot t^{2})}{A+3B\cdot t+3C\cdot t^{2}+D\cdot t^{3}}}\\y(t)=-{\frac {3t\cdot (E+2F\cdot t+G\cdot t^{2})}{A+3B\cdot t+3C\cdot t^{2}+D\cdot t^{3}}}\end{cases}}$ , які є раціональними.

Раціональна крива 3-го порядку з вузловою (подвійною) точку, або точкою звороту (каспом), має одну дійсну точку перегину, а крива з ізольованою точкою — три дійсні точки перегину.^:стор.57

Полюси та поляри

Криву 2-го порядку, на якій лежать точки дотику дотичних, що проведені до кривої 3-го порядку $F(x,y,z)=0$ з точки $P(x_{1},y_{1},z_{1})$ називають першою полярою точки P відносно кривої $F(x,y,z)=0$, а саму точку $P$ — полюсом.
Її рівняння в однорідних координатах x:y:z:

${\begin{aligned}&x_{1}\cdot (A\cdot x^{2}+2B\cdot xy+C\cdot y^{2}+2E\cdot xz+2F\cdot yz+H\cdot z^{2})\,+\\+\,&y_{1}\cdot (B\cdot x^{2}+2C\cdot xy+D\cdot y^{2}+2F\cdot xz+2G\cdot yz+K\cdot z^{2})\,+\\+\,&z_{1}\cdot (E\cdot x^{2}+2F\cdot xy+G\cdot y^{2}+2H\cdot xz+2K\cdot yz+L\cdot z^{2})=0\end{aligned}}$

Точка $P$ також має поляру відносно цієї кривої 2-го порядку; її називають другою полярою точки P відносно кривої 3-го порядку. Ця поляра є прямою з рівнянням:

${\begin{aligned}&x\cdot (A\cdot x_{1}^{2}+2B\cdot x_{1}y_{1}+C\cdot y_{1}^{2}+2E\cdot x_{1}z_{1}+2F\cdot y_{1}z_{1}+H\cdot z_{1}^{2})\,+\\+\,&y\cdot (B\cdot x_{1}^{2}+2C\cdot x_{1}y_{1}+D\cdot y_{1}^{2}+2F\cdot x_{1}z_{1}+2G\cdot y_{1}z_{1}+K\cdot z_{1}^{2})\,+\\+\,&z\cdot (E\cdot x_{1}^{2}+2F\cdot x_{1}y_{1}+G\cdot y_{1}^{2}+2H\cdot x_{1}z_{1}+2K\cdot y_{1}z_{1}+L\cdot z_{1}^{2})=0\end{aligned}}$

1. Перша поляра є геометричним місцем точок, другі поляри яких проходять через полюс;
2. Друга поляра є геометричним місцем точок, перші поляри яких проходять через полюс.

Якщо полюс знаходиться на самій кривій, то друга поляра збігається з дотичною. Оскільки при цьому полюс знаходиться на першій полярі, то друга торкається першої в полюсі, а отже, крива 3-го порядку та її перша поляра мають в полюсі дві спільні точки, що збігаються одна з одною. А отже, кількість інших їх спільних точок не перевищує 4.

• Друга поляра нескінченно віддаленої точки відносно кривої 3-го порядку є діаметром цієї кривої, та має рівняння:

${\begin{aligned}(A+2Bm+Cm^{2})\cdot x+(B+2Cm+Dm^{2})\cdot y+(E+2Fm+Gm^{2})=0\end{aligned}}$

де $m$ — кутовий коефіцієнт хорд, до яких цей діаметр є спряженим.

• Кожна хорда кривої 3-го порядку гармонічно ділиться цією кривою та першою полярою однієї з точок перетину цієї хорди з кривою.
• Перша поляра точки перегину є виродженою кривою 2-го порядку, а саме парою прямих, що перетинаються. Одна з цих прямих є дотичною до кривої 3-го порядку, а другу називають гармонійною полярою точки перегину кривої 3-го порядку.

Гармонійна поляра є геометричним місцем четвертих гармонічних точок щодо трьох точок перетину з кривою хорд, що проходять через точку перегину.^{:стор.57-60}

Приклади кривих 3-го порядку

Нижче наведено низку прикладів кривих 3-го порядку та їх рівняння

• 
  Кубічна парабола
  $y=x^{3}$
• 
  Кубічна парабола/ графік функції полінома третього степеня
  y = ax³+bx²+cx+d
• 
  Декартів лист
  $x^{3}+y^{3}-3axy=0$
• 
  Цисоїда Діокла
  $(x^{2}+y^{2})x=2ay^{2}$
• 
  Конхоїда Слюза
  (x-1)(x²+y²) = ax²
• 
  Кубика з подвійною точкою
  $y^{2}=x^{2}(x+1)$
• 
  Строфоїда
  $y^{2}=x^{2}{\frac {a-x}{a+x}}$
• 
  Напівкубічна парабола
  $y^{2}=x^{3}$
• 
  Змієподібна крива
  $y={\frac {abx}{x^{2}+a^{2}}}$
• 
  Тризуб
  xy+ax³+bx²+cx = d
• 
  Трисектриса Маклорена
  2x(x²+y²) = a(3x²-y²)
• 
  Кубика Чирнгауза
  $3ay^{2}=x(x-a)^{2}$
• 
  Локон Аньєзі
  $y={\frac {a^{3}}{x^{2}+a^{2}}}$

Кубічні криві в площині трикутника

Нехай ABC — трикутник з довжинами сторін a = | BC |, b = | CA |, c = | AB |.
Всі кубічні криві, описані в цьому розділі, проходять через чудові точки трикутника.
У прикладах, наведених нижче, використовуються два види однорідних координат: трилінійні та барицентричні. Для переходу від трилінійних координат до барицентричних в кубічному рівнянні слід зробити заміну наступним чином:

$x\to bcx,\quad y\to cay,\quad z\to abz;$

для переходу від барицентричних координат до трилінійних використовується заміна:

$x\to ax,\quad y\to by,\quad z\to cz.$

Більшість рівнянь кривих 3-го порядку мають вигляд:

$f(a,b,c,x,y,z)+f(b,c,a,y,z,x)+f(c,a,b,z,x,y)=0.$

У наведених нижче прикладах, такі рівняння записуються більш коротко в «циклічному запису суми», тобто:

$\sum _{\text{cyclic}}f(x,y,z,a,b,c)=0$

Кубічні криві, що описані нижче, можна означити через ізогональне спряження X* точки $X$, яка не лежить на стороні △ABC. Точка X* будується наступним чином. Нехай $L_{A}$ — лінія, що отримана шляхом відбиття лінії $XA$ відносно бісектриси внутрішнього кута $A$;
$L_{B}$ і $L_{C}$ означаються аналогічно. Тоді три лінії $L_{A}$, $L_{B}$ та $L_{C}$ перетинаються в одній точці X*.
В трилінійних координатах: якщо $X=x:y:z,$ то $X^{*}={\tfrac {1}{x}}:{\tfrac {1}{y}}:{\tfrac {1}{z}}.$

Кубика Нойберга

Кубика Нойберга трикутника △ABC

Рівняння в трилінійних координатах:

$\sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-2\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0$

Рівняння в барицентричних координатах:

$\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

Кубика Нойберга (названа на честь Джозефа Жана Батіста Нойберга)  — це геометричне місце точок точок $X$ (ГМТ) таких, що ізогонально спряжені до них точки X* знаходяться на прямій $EX$, де $E$ є точкою нескінченності Ейлера (X(30) в Енциклопедії центрів трикутника).
Крім того, ця кубика є ГМТ точок $X$, таких, що трикутник △X_AX_BX_C є перспективним до △ABC (тобто прямі AX_A, BX_B, CX_C перетинаються в одній точці), де точки X_A , X_B, X_C отримані шляхом відбиття точки $X$ відносно прямих $BC,\,CA,\,AB$, відповідно.

Кубика Нойберга проходить через наступні чудові точки трикутника: центр вписаного кола, центр описаного кола, ортоцентр, обидві точки Ферма, обидва ізодинамічних центра, точку нескінченності Ейлера, центри зовнівписаних кіл, основи висот △ABC (вершини ортотрикутника), вершини шести рівносторонніх трикутників, побудованих на сторонах △ABC та інші центри трикутника.

Графіки і властивості кубик Нойберга див. Кубику K001 Берхарда Гіберта в площині трикутника [Архівовано 9 квітня 2017 у Wayback Machine.].

Кубика Томсона

Приклад кубики Томсона (чорна крива). Точка $X$ знаходиться на кубиці, таким чином, ізогонально спряжена до неї точка $X^{*}$ лежить на прямій $X(2)-X$.

Рівняння в трилінійних координатах:

$\sum _{\text{cyclic}}bcx(y^{2}-z^{2})=0$

Рівняння в барицентричних координатах:

$\sum _{\text{cyclic}}x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

Кубика Томсона — це ГМТ точок $X$ для яких ізогонально спряжена точка X* знаходиться на прямій $GX$, де $G$ є центроїдом трикутника △ABC.

Кубика Томсона проходить через наступні чудові точки трикутника: центр вписаного кола, центроїд, центр описаного кола, ортоцентр, точка Лемуана, вершини $A,\,B,\,C$, центри зовнівписаних кіл, середини сторін $BC,\,CA,\,AB$, і середини висот △ABC, інші центри трикутника.

Для кожної точки $P$ на кубиці, окрім тих, що належать також сторонам трикутника, ізогонально спряжена до $P$ точка також лежить на кубиці.

Графіки і властивості див. Кубику K002 в площині трикутника [Архівовано 24 липня 2012 у Wayback Machine.].

Кубика Дарбу

Кубика Дарбу трикутника △ABC: Геометричне місце точок X таких, що якщо D, E, F є підставами перпендикулярів, проведених з X на сторони BC, CA, AB, то прямі AD, BE, CF перетинаються в одній точці.

Рівняння в трилінійних координатах:

$\sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0$

Рівняння в барицентричних координатах:

$\sum _{\text{cyclic}}(2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

Кубика Дарбу — це ГМТ точок $X$, для кожної з яких ізогонально спряжена точка X* лежить на прямій $LX$, де $L$  — Точка Лоншама.
Також кубика Дарбу є ГМТ точок $X$ для кожної з яких її подерний трикутник відносно трикутника △ABC є також чевіанним трикутником деякої точки (яка лежить на кубиці Лукаса).
Також ця кубика є ГМТ точок $X$, для кожної з яких її подерний та античевіанний трикутники є перспективними; центр перспективи лежить на кубиці Томсона.

Кубика Дарбу проходить через наступні чудові точки трикутника: центр вписаного кола, центр описаного кола, ортоцентр, точку Лоншама, вершини $A,\,B,\,C$, центри зовнівписаних кіл, точки описаного кола, діаметрально протилежні до вершин $A,\,B,\,C$, інші центри трикутника.

Для кожної точки $P$ на кубиці, окрім тих, що належать також сторонам трикутника, ізогонально спряжена до $P$ точка також лежить на кубиці.

Графіки і властивості див. Кубику K004 в площині трикутника [Архівовано 24 липня 2012 у Wayback Machine.].

Кубика Наполеона — Феєрбаха

Рівняння в трилінійних координатах:

$\sum _{\text{cyclic}}\cos(B-C)x(y^{2}-z^{2})=0$

Рівняння в барицентричних координатах:

$\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

Кубика Наполеона — Феєрбаха — це ГМТ точок X, для кожної з яких ізогонально спряжена точка X* лежить на прямій $NX$, де $N$  — центр кола дев'яти точок (N = X(5) в Енциклопедії центрів трикутника).

Кубика Наполеона — Феєрбаха проходить через центри вписаного і описаного кіл, ортоцентр, першу і другу точки Наполеона, вершини $A,\,B,\,C$, центри зовнівписаних кіл, проєкції центроїда на висоти і центри 6-ти рівносторонніх трикутників, побудованих на сторонах △ABC, інші центри трикутника.

Графіки і властивості див. Кубику K005 в площині трикутника [Архівовано 15 квітня 2016 у Wayback Machine.].

Кубика Лукаса

Кубика Лукаса трикутника △ABC: геометричне місце точок X, для кожної з яких її чевіанний трикутник є подерним трикутником деякої точки X', що лежить на кубиці Дарбу.

Рівняння в трилінійних координатах:

$\sum _{\text{cyclic}}\cos(A)x(b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2})=0$

Рівняння в барицентричних координатах:

$\sum _{\text{cyclic}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$

Кубика Лукаса — це ГМТ точок X, для кожної з яких її чевіанний трикутник є подерним трикутником деякої точки X', що лежить на кубиці Дарбу.

Кубика Лукаса проходить через центроїд, ортоцентр, точку Жергона, точку Нагеля, точку Лоншама, інші центри трикутника, вершини антисерединного трикутника і фокуси еліпса Штейнера.

Графіки і властивості див. Кубику K007 в площині трикутника [Архівовано 18 січня 2017 у Wayback Machine.].

Див. також

• Еліптична крива
• Кручена кубика
• Теорема Келі-Бакараха
• Тризуб (плоска крива)
• Кубічне рівняння

Література

• Смогоржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — москва : государственое издательство физико- математической литератури, 1961.

• Harold Hilton (1920). Plane Algebraic Curves. Oxford. с. 201.
• Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение. (Справочное руководство). — москва : государственое издательство физико- математической литератури, 1960.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Cubic Curve(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

• Bix, Robert (1998), Conics and Cubics: A Concrete Introduction to Algebraic Curves, New York: Springer, ISBN 0-387-98401-1.
• Cerin, Zvonko (1998), Locus properties of the Neuberg cubic, Journal of Geometry, 63 (1–2): 39—56, doi:10.1007/BF01221237.
• Cerin, Zvonko (1999), On the cubic of Napoleon, Journal of Geometry, 66 (1–2): 55—71, doi:10.1007/BF01225672.
• Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (1995), Some cubic curves associated with a triangle, Journal of Geometry, 53 (1–2): 41—66, doi:10.1007/BF01224039.
• Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (1999), Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 1), Journal of Geometry, 66 (1–2): 72—103, doi:10.1007/BF01225673.
• Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (2000), Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 2), Journal of Geometry, 68 (1–2): 58—75, doi:10.1007/BF01221061.
• Ehrmann, Jean-Pierre & Gibert, Bernard (2001), A Morley configuration, Forum Geometricorum, 1: 51—58.
• Ehrmann, Jean-Pierre & Gibert, Bernard (2001), The Simson cubic, Forum Geometricorum, 1: 107—114.
• Gibert, Bernard (2003), Orthocorrespondence and orthopivotal cubics, Forum Geometricorum, 3: 1—27.
• Kimberling, Clark (1998), Triangle Centers and Central Triangles, Congressus Numerantium, 129: 1—295. See Chapter 8 for cubics.
• Kimberling, Clark (2001), Cubics associated with triangles of equal areas, Forum Geometricorum, 1: 161—171.
• Lang, Fred (2002), Geometry and group structures of some cubics, Forum Geometricorum, 2: 135—146.
• Pinkernell, Guido M. (1996), Cubic curves in the triangle plane, Journal of Geometry, 55 (1–2): 142—161, doi:10.1007/BF01223040.
• Salmon, George (1879), Higher Plane Curves (вид. 3rd), New York: Chelea