Плоска крива

У математиці, плоска крива являє собою криву в площині, що може бути Еклідовою площиною, або проєктивною площиною. Найбільш часто досліджувані випадки — гладкі криві площини (включаючи частичні криві площині), і алгебраїчні криві площини.

Гладка крива площини

Гладка крива площини — крива в дійсній евклідовій площині R² і є одновимірним гладким многовидом. Це означає, що гладка крива площини — крива площини, яка «локально схожа на лінію», в тому сенсі, що біля кожної точки, вона може бути нанесена на карту до лінії гладкой функції. Еквівалентно, гладка крива площині може бути локально описана рівнянням f(x, y) = 0 , де f : R² > R — гладка функція, і часткові похідні ∂f/∂x і ∂f/∂y ніколи одночасно не дорівнюють 0 в точці кривої.

Алгебрична крива площини

Алгебрична крива площини — крива в проєктивній площині, задана одним багаточленним рівнянням f(x, y) = 0 (або F(x, y, z) = 0, де F — гомогенний поліном в проєктному випадку).

Алгебричні криві вивчаються з 18-го століття.

У кожної алгебричної кривої площині є степінь, степінь рівняння визначення, яке дорівнює, у разі алгебраїчно замкненої області, числу перетинів кривої з лінією в загальному положенні. Наприклад, у кола, даного рівнянням x² + y² = 1 є степінь 2. Пласкі алгебраїчні криві 2 степеня без особливостей називають конічними перетинами, а їх проєктивним доповненням, усі ізоморфні, з точністю до проєктивного доповнення, колу x² + y² = 1 (який є проєкцією кривої рівняння x² + y² - z²= 0). Криві площини 3 степеня називають кубічними кривими плоскості і, якщо вони — без особливостей, овальні криві. Криві четвертого ступеня називають біквадратним кривими плоскості.

Приклади

Назва	неявне рівняння	Параметричне рівняння	Функція
Пряма лінія	$ax+by=c$	$(x_{0}+\alpha t,y_{0}+\beta t)$	$y=mx+c$
Коло	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$	$(r\cos t,r\sin t)$
Парабола	$y-x^{2}=0$	$(t,t^{2})$	$y=x^{2}$
Еліпс	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$(a\cos t,b\sin t)$
Гіпербола	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$(a\cosh t,b\sinh t)$