Напівкубічна парабола

Напівкубічна парабола для різних значнь a.

Напівкубічна парабола, або парабола Нейла — плоска алгебраїчна крива, що описується рівнянням

$y^{2}=ax^{3}$

в прямокутній системі координат. Параметричне рівняння напівкубічної параболи:

$x=t^{2},\ y=at^{3}$

Властивості

• Окремим випадком напівкубічної параболи є еволюта параболи:

$x={3 \over 4}(2y)^{2 \over 3}+{1 \over 2}.$

• Напівкубічна парабола є каустикою кривої Чирнгаузена. Більше того, будь-яка каустика вигляду ластівчин хвіт поблизу вершини добре наближається навікубічною параболою, що робить цю криву еталонною в теорії катастроф.
• Радіус кривини навікубічної параболи в початку координат дорівнює нулю.

Історія

Названа на честь Вільяма Нейла, який знайшов в 1660 р. довжину її дуги. Це була перша крива, після кола, довжину дуги якої вдалось порахувати. Також вдалось помітити особливість — тіло, що рухається вниз по напівкубічній кривій під дією сили тяжіння проходить однакові відстані у вертикальному напрямі за однакові проміжки часу.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Weisstein, Eric W. Напівкубічна парабола(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.