Disfenoid

Tetragonalni in digonalni disfenoid lahko postavimo v kvader, ki seka po dve nasprotni stranski ploskvi. Vse štiri stranske ploskve so enakokraki trikotniki. Oba imata štiri enake robove okoli stranic. Digonalna oblika ima dve skupini enakokrakih trikotnih stranskih ploskev, tetragonalna oblika ima štiri enakeenakokrake trikotne stranske ploskve.

Rombski disfenoid ima 4 skladne enakostranične stranske ploskve in ga lahko postavimo diagonalno v kvader. Ima tri skupine dolžin robov, ki so kot nasprotni pari.

Disfenoid (tudi enakokraki tetraeder) je v geometriji tetraeder, ki ima za stranske ploskve skladne trikotnike z ostrimi koti Lahko se opiše tudi kot tetraeder v katerem sta vsaka dva robova, ki sta si nasprotna, enako dolga. Vsi prostorski koti in slika oglišč so enaki, vsota kotov pri stranskih ploskvah je enaka pravem kotom. Disfenoid ni pravilni polieder, ker njegove stranske ploskve niso pravilni mnogokotniki.

Posebni primeri

Stranske ploskve tetragonalnega disfenoida so enakokrake, stranske ploskve rombskega disfenoida pa so ostrokotne. Kadar pa so vse stranske ploskve enakostranični trikotniki, se dobi pravilni tetraeder, ki pa običajno ne velja za disfenoid.

Značilnosti

Tetraeder je disfenoid samo, če in samo, če ima očrtani paralelepiped prave kote.

Tetraeder je disfenoid samo, če središče očrtane in včrtane sfere sovpadata. Naslednja značilnost pravi, da takrat, ko so d₁, d₂ in d₃ po vrsti skupne pravokotnice na AB in CD, oziroma na AD in BC v tetraedru ABCD, potem je tetraeder disfenoid samo, če in samo, če so d₁, d₂ in d₃ paroma pravokotni.

Obrazci

Prostornina disfenoida, ki ima nasprotne robove enake l, m in n je enaka:

$V={\sqrt {\frac {(l^{2}+m^{2}-n^{2})(l^{2}-m^{2}+n^{2})(-l^{2}+m^{2}+n^{2})}{72}}}.$.

Včrtana sfera ima polmer

$\displaystyle 16T^{2}R^{2}=l^{2}m^{2}n^{2}+9V^{2}.$

Očrtana sfera ima polmer

$r={\frac {3V}{4T}}$

kjer je:

• $V$ prostornina
• $T$ je ploščina poljubne stranske ploskve, ki je dana s Heronovo formulo. Obstoja tudi povezava med prostornino in očrtano krožnico

$\displaystyle 16T^{2}R^{2}=l^{2}m^{2}n^{2}+9V^{2}.$

Kvadrat dolžine bimediane (črta, ki povezuje srednje točke dveh nasprotnih robov, tetraeder ima tri bimediane) je:

${\tfrac {1}{2}}(l^{2}+m^{2}-n^{2}),\quad {\tfrac {1}{2}}(l^{2}-m^{2}+n^{2}),\quad {\tfrac {1}{2}}(-l^{2}+m^{2}+n^{2}).$

Nekatere značilnosti

• kadar imajo štiri stranske ploskve tetraedra enak obseg, je tetraeder disfenoid
• kadar imajo štiri stranske ploskve tetraedra enako ploščino, potem je to disfenoid
• središči včrtane in očrtane sfere sovpadata s težiščem disfenoida
• bimediane, ki so pravokotne na robove, so povezane med seboj

Glej tudi

• ortocentrični tetraeder
• prirezani disfenoid

Viri

• Andreescu, Titu; Gelca, Răzvan (2009), Mathematical Olympiad Challenges (2. izd.), Boston, Basel, Berlin: Birkhäuser, COBISS 62947841, ISBN 978-0-8176-4528-1
• Brown, Bancroft Huntington (april 1926), »Theorem of Bang. Isosceles Tetrahedra«, American Mathematical Monthly, 33 (4): 224–226{{citation}}: Vzdrževanje CS1: samodejni prevod datuma (povezava)
• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1973), Regular Polytopes (3. izd.), New York: Dover Publications, ISBN 0-486-61480-8
• Leech, John (1950), »Some properties of the isosceles tetrahedron«, Mathematical Gazette, 34 (310): 269–271, doi:10.2307/3611029

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Disphenoid«. MathWorld.