連続体仮説

mitaさんちの掲示板で無限ネタを書いた後、「無限って何種類くらいあるんだろう」と思って検索してみたら、これは数学の人にとっては「きわめてガイシュツ」な話だったらしい。
ある無限集合があったとき、その部分集合を全部集めた集合は元の集合より格が上の無限集合になることを対角線論法で示せ、という問題を大学のときやったのを憶えてたけど、きっとその講義そのへんで出るのやめちゃったんだな。
上のやりかたでどんどん大きな無限を作っていった時、それであらゆる無限の種類を尽くしているか、というのが連続体仮説の問題らしい。で結局よく分からなかった。
それよか意外だったのは平面上の点の集合と直線上の点の集合は一対一の写像があって無限としての格は同じ、ってこと。無限小数展開して
Xの１桁目、Yの１桁目、Xの２桁目、Yの２桁目、…
て感じで数を作れば一対一に対応する、ってことでいいのかな？うーんびっくり。