Spazio metrizzabile

In topologia, uno spazio topologico $(X,\tau )$ si dice metrizzabile se esiste su $X$ una metrica $d$ tale che la topologia indotta da $d$ sia proprio $\tau$.

Gli spazi metrizzabili sono omeomorfi agli spazi metrici e ne inducono tutte le proprietà. Per esempio, sono spazi di Hausdorff, paracompatti e spazi ogni cui punto ha una base numerabile di intorni.

Esistono teoremi che assicurano condizioni sufficienti alla metrizzabilità di uno spazio:

• teorema di Urysohn: ogni spazio di Hausdorff, regolare e a base numerabile è metrizzabile;
• teorema di Nagata-Smirnov: uno spazio è metrizzabile se e solo se è regolare e di Hausdorff ed ha una base finita $\sigma$-localmente;
• teorema di Bing: uno spazio è metrizzabile se e solo se è regolare e T0 ed ha una base $\sigma$-discreta.

Uno spazio si dice localmente metrizzabile se ogni punto ha un intorno metrizzabile. Sempre di Smirnov è il risultato che uno spazio localmente metrizzabile di Hausdorff è metrizzabile se e solo se è paracompatto.

Bibliografia

• Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.