Complesso di catene

In matematica un complesso di catene è un oggetto algebrico usato soprattutto in topologia algebrica. Consiste in una successione di gruppi abeliani e di funzioni fra questi che soddisfa alcune proprietà, utili a studiare e modellizzare gli spazi topologici.

Definizione

Un complesso di catene è una successione di gruppi abeliani $A_{i}$ indicizzati da numeri interi $i$ e di omomorfismi

\partial _{i}:A_{i}\to A_{i-1}

definiti anch'essi per ogni intero $i$ , tali che la composizione di due omomorfismi successivi abbia come risultato sempre l'omomorfismo banale. In altre parole:

\partial _{i-1}\circ \partial _{i}=0

per ogni intero $i$ .

Un complesso di catene può essere descritto globalmente nel modo seguente:

\cdots \to A_{n+1}{\xrightarrow {\partial _{n+1}}}A_{n}{\xrightarrow {\partial _{n}}}A_{n-1}{\xrightarrow {\partial _{n-1}}}A_{n-2}\to \cdots {\xrightarrow {\partial _{2}}}A_{1}{\xrightarrow {\partial _{1}}}A_{0}{\xrightarrow {\partial _{0}}}A_{-1}{\xrightarrow {\partial _{-1}}}A_{-2}{\xrightarrow {\partial _{-2}}}\cdots

Un complesso di cocatene è una successione di gruppi abeliani $A^{i}$ e di omomorfismi

\partial ^{i}:A^{i}\to A^{i+1}

tali che la composizione di due omomorfismi successivi abbia come risultato sempre l'omomorfismo banale:

\partial ^{i+1}\circ \partial ^{i}=0

Un complesso di cocatene può essere descritto globalmente nel modo seguente:

\cdots \to A^{-2}{\xrightarrow {\partial ^{-2}}}A^{-1}{\xrightarrow {\partial ^{-1}}}A^{0}{\xrightarrow {\partial ^{0}}}A^{1}{\xrightarrow {\partial ^{1}}}A^{2}\to \cdots \to A^{n-1}{\xrightarrow {\partial ^{n-1}}}A^{n}{\xrightarrow {\partial ^{n}}}A^{n+1}\to \cdots .

Generalmente gli indici interi sono posizionati in basso (come pedici) per i complessi di catene, ed in alto (come apici) per i complessi di cocatene.