Schema simpliciale

In matematica, uno schema simpliciale è un oggetto definito usando la teoria degli insiemi, usato soprattutto per modellizzare in modo astratto e combinatorio uno spazio topologico. Lo spazio topologico che modellizza è un complesso simpliciale.

Definizione

Uno schema simpliciale è una coppia $(I,K)$ dove $I$ è un insieme i cui elementi sono detti vertici, e $K$ è una famiglia di sottoinsiemi di $I$ che soddisfa le proprietà seguenti:

1. $K$ contiene tutti gli insiemi formati da un solo elemento,
2. Se un insieme appartiene a $K$ allora tutti i suoi sottoinsiemi appartengono a $K$.

Le due condizioni possono essere espresse anche nel modo seguente.

1. $\{i\}\in K\ \forall i\in I,$
2. $s\in K,t\subset s\Rightarrow t\in K.$

Gli elementi di $K$ sono detti simplessi. La dimensione di un simplesso è la sua cardinalità meno uno.

Complesso simpliciale associato

A partire da uno schema simplicale è possibile costruire un complesso simpliciale, che è a sua volta uno spazio topologico. Il complesso simpliciale è costruito rappresentando ogni simplesso di dimensione $k$ come un simplesso geometrico della stessa dimensione, definito come l'insieme

$\Delta _{k}=\{(x_{0},\ldots ,x_{k})\in \mathbb {R} ^{k+1}\ |\ x_{0}+\ldots +x_{k}=1,x_{i}\geqslant 0\,\forall i\}.$

E identificando i vari simplessi secondo le prescrizioni date dalle relazioni insiemistiche degli elementi di $K$.

Voci correlate

• Complesso simpliciale