Punto di aderenza

In topologia generale, un punto $x$ è un punto di aderenza ad un sottospazio di uno spazio topologico se è possibile trovare punti di questo sottospazio "arbitrariamente vicini" ad $x$. Si tratta di una nozione meno restrittiva di quella di punto di accumulazione.

Definizione

Un punto $a$ è aderente ad $A$ se e solo se, comunque si prenda un intorno dell'elemento $a$, l'intersezione dell'intorno con l'insieme $A$ è sempre non vuota.

Ovvero, $a$ è un punto di aderenza per $A$ se e solo se $a$ è un punto di accumulazione per $A$ o è un punto isolato di $A$.

Spazi topologici

Un punto $x_{0}$ appartenente ad uno spazio topologico $(X,T)$ è detto punto di aderenza (o punto di chiusura) per un sottoinsieme $S$ di $X$ se ogni aperto contenente $x_{0}$ interseca $S$. In simboli:

$\forall A\in T,x_{0}\in A:A\cap S\not =\varnothing .$

Spazi metrici

In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturalmente indotta dalla metrica, la definizione è equivalente alla richiesta seguente.

$\forall r>0:B(x_{0},r)\cap S\not =\varnothing ,$

dove con $B(x_{0},r)$ si indica la palla di raggio $r$ e centro $x_{0}$. Non ne consegue (come nel caso dei punti di accumulazione) che in ogni palla vi siano infiniti punti di $S$.

Differenza con i punti di accumulazione

Tutti i punti di accumulazione di $S$ sono anche aderenti ma non è valido il viceversa. Non è richiesto infatti che ogni intorno di $x_{0}$ intersechi $S$ in punti diversi da $x_{0}$. L'intersezione non vuota può essere garantita dallo stesso punto, purché appartenente a $S$.

Ne consegue che tutti i punti di $S$ sono aderenti in $S$, anche quando non sono di accumulazione. In tale ultimo caso si parla di punti isolati.

Chiusura di un insieme

L'insieme dei punti di aderenza di $S$ è detto chiusura (o aderenza) di $S$.

Voci correlate

• Punto di accumulazione
• Punto isolato
• Chiusura (topologia)