Fibrato tangente

Il fibrato tangente di una circonferenza. Ad ogni punto è associata la retta tangente. Le rette tangenti sono tutte disgiunte e si muovono "con continuità": il fibrato può quindi essere visualizzato come nella seconda figura.

In topologia differenziale il fibrato tangente $TM$ a una varietà differenziabile $M$ è l'insieme formato dall'unione disgiunta di tutti gli spazi tangenti ai punti di $M$. Questo insieme è dotato di una struttura di varietà differenziabile, di dimensione doppia di quella di $M$, ed è generalmente visualizzato come fibrato vettoriale

$\pi :TM\to M$

su $M$, in cui la controimmagine di un punto $x$ è proprio lo spazio tangente $T_{x}M$ al punto.

Definizione

Insieme

Sia $M$ una varietà differenziabile. Il fibrato tangente di $M$ è l'unione disgiunta di tutti gli spazi tangenti ai punti di $M$:

$TM=\coprod _{x\in M}T_{x}M=\bigcup _{x\in M}\left\{x\right\}\times T_{x}M.$

Un punto di $TM$ è quindi una coppia $(x,v)$, dove $x$ è un punto di $M$ e $v$ un vettore tangente a $M$ in $x$, cioè un elemento dello spazio tangente $T_{x}M$ di $M$ in $x.$

La proiezione

$\pi :TM\to M$

manda il punto $(x,v)\in TM$ in $x\in M.$

Varietà differenziabile

Lo spazio $TM$ è dotato di una struttura di varietà differenziabile, che porta $\pi$ ad essere un fibrato vettoriale differenziabile. La struttura può essere definita nel modo seguente. La struttura differenziabile di $M$ è data da un insieme di carte

$\phi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}.$

Ad ogni carta di $M$ si associa la carta seguente per $TM$:

$\psi _{\alpha }\colon \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n},$

$\psi _{\alpha }\colon (x,v)\mapsto {\big (}\phi _{\alpha }(x),(d\phi _{\alpha })_{x}(v){\big )}.$

In questa scrittura, lo spazio tangente di un punto in $\mathbb {R} ^{n}$ è identificato con $\mathbb {R} ^{n}$ stesso. Questo insieme di carte dà effettivamente luogo a un atlante di carte compatibili e quindi a una struttura di varietà differenziabile.

Se $M$ ha dimensione $n$, il fibrato tangente ha dimensione $2n$.

Proprietà

Funzioni differenziabili

Ogni funzione differenziabile

$f:M\to N$

tra varietà differenziabili (non necessariamente della stessa dimensione) induce una funzione differenziabile

${\tilde {f}}:TM\to TN$

fra i corrispettivi fibrati. La funzione è definita nel modo seguente:

${\tilde {f}}(x,v)={\big (}f(x),(df)_{x}(v){\big )}.$

Campi vettoriali

A differenza della sfera, il toro ha caratteristica di Eulero nulla: esistono quindi dei campi vettoriali (tangenti) mai nulli sul toro; ad esempio, quello mostrato in figura.

Un campo vettoriale su una varietà differenziabile è una funzione che associa ad ogni punto di $x$ un vettore tangente a $x$. In altre parole, è una sezione del fibrato tangente, ovvero una funzione

$s:M\to TM$

tale che $\pi \circ s$ sia la funzione identità su $M$. Generalmente si richiede implicitamente che il campo vettoriale sia liscio, ovvero che la sezione sia una funzione differenziabile.

L'esistenza di campi vettoriali mai nulli è determinata dalla caratteristica di Eulero $\chi (M)$ di $M$: un campo mai nullo esiste se e solo se $\chi (M)=0$.

Orientabilità

Il fibrato tangente $TM$ è sempre una varietà orientabile, anche quando $M$ non lo è.

Fibrati banali e non banali

Localmente, come per ogni fibrato vettoriale, il fibrato tangente è esprimibile come prodotto

$U\times \mathbb {R} ^{n}$

dove $U$ è un aperto, sufficientemente piccolo, di $M$. Globalmente il fibrato tangente può non essere un prodotto. Infatti non esiste a priori nessun modo di identificare i vettori di due spazi tangenti $T_{x}M$ e $T_{y}M$ corrispondenti a spazi differenti.

Una varietà differenziabile il cui fibrato tangente è banale è detta parallelizzabile. Una $n$-varietà è parallelizzabile se e solo se esistono $n$ campi vettoriali mai nulli, che in ogni punto $x$ formano $n$ vettori indipendenti di $T_{x}$ (ovvero una base). L'esistenza di queste basi è proprio ciò che serve per poter identificare i punti di due spazi tangenti differenti, fissando delle coordinate valide in tutti gli spazi tangenti.

Ad esempio, il fibrato tangente della circonferenza $S^{1}$ è esprimibile come prodotto $S^{1}\times \mathbb {R}$, come illustrato in figura. Il fibrato tangente della sfera bidimensionale $S^{2}$ non è però esprimibile come prodotto: per il teorema della palla pelosa non esistono infatti campi vettoriali mai nulli su $S^{2}$.

In generale, affinché una varietà sia parallelizzabile è necessario che abbia caratteristica di Eulero nulla. Non è però vero il viceversa: esistono varietà con caratteristica di Eulero nulla che non sono parallelizzabili.

Bibliografia

• M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5.
• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
• G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di Geometria Differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, ISBN 978-88-339-5556-8.
• (EN) I. Kolář, P. Michor, J. Slovák, Natural operators in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, 1993. URL consultato il 5 luglio 2013 (archiviato dall'url originale il 30 marzo 2017).

Voci correlate

• Fibrato vettoriale
• Fibrato naturale
• Spazio tangente
• Campo vettoriale