Chirurgia di Dehn

In matematica, e più precisamente nella topologia della dimensione bassa, la chirurgia di Dehn è un'operazione che permette la trasformazione di una 3-varietà in un'altra 3-varietà. La trasformazione consiste nella rimozione di un toro solido dal suo interno, e nel suo successivo reincollamento, con una mappa che può essere diversa da quella originaria.

La seconda operazione (di reincollamento) può essere effettuata autonomamente e ha il nome di riempimento di Dehn.

Definizioni

Riempimento di Dehn

Sia $M$ una 3-varietà con bordo, il cui bordo contiene un toro $T$. Un riempimento di Dehn è l'operazione di incollamento di $M$ e di un toro solido $S$ lungo i bordi $T$ e $\partial S$.

Più precisamente, l'incollamento è determinato da un omeomorfismo

$\phi :T\to \partial S$

fra i due tori. Questo determina lo spazio quoziente

$N=(M\cup S)/_{\sim }$

dove $\sim$ è la relazione di equivalenza indotta da $\phi$, che identifica ogni punto $x$ di $T$ con il punto $\phi (x)$ di $\partial S$. Lo spazio quoziente $N$ risulta essere una 3-varietà.

Chirurgia di Dehn

La chirurgia di Dehn è un'operazione che consta di due passaggi. Sia $M$ una 3-varietà orientabile e $K$ un nodo contenuto nell'interno di $M$. Il primo passaggio consiste nella rimozione di un piccolo intorno tubolare aperto del nodo $K$ da $M$. Poiché $M$ è orientabile, l'intorno tubolare è omeomorfo ad un toro solido, e la varietà $M'$ risultante dalla rimozione ha una nuova componente di bordo $T$, data dal bordo di questo toro solido, omeomorfa ad un toro.

La seconda operazione consiste in un riempimento di Dehn della nuova componente di bordo $T$. Entrambe le operazioni possono essere sintetizzate dicendo che un toro solido viene rimosso da $M$, e quindi reincollato. Poiché il modo in cui viene reincollato dipende fortemente dalla scelta della mappa $\phi$, la varietà che ne risulta può essere molto differente da quella iniziale.

Bibliografia

• (EN) Anatolij Fomenko, Sergej Matveev, Algorithmic and computer methods for three-manifolds, Dordrecht (Paesi Bassi), Kluwer, 1997.